(THPT Bùi Thị Xuân – Huế – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f\prime (x) = {(x – 1)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right)\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị?

A. 15.

B. 16.

C. 17.

D. 18.

Lời giải:

Đặt \(g(x) = f\left( {{x^2} – 8x + m} \right) \Rightarrow g\prime (x) = (2x – 4) \cdot f\prime \left( {{x^2} – 8x + m} \right)\).

\(\begin{array}{l}f\prime (x) = {(x – 1)^2}\left( {{x^2} – 2x} \right) \Rightarrow g\prime (x) = (2x – 8){\left( {{x^2} – 8x + m – 1} \right)^2}\left( {{x^2} – 8x + m} \right)\left( {{x^2} – 8x + m – 2} \right)\\g\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 4\\{x^2} – 8x + m – 1 = 0\\{x^2} – 8x + m = 0\\{x^2} – 8x + m – 2 = 0\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\)\(\)

Các phương trình \((1),(2),(3)\) không có nghiệm chung từng đôi một và \({\left( {{x^2} – 8x + m – 1} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(g(x)\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}16 – m > 0\\16 – m + 2 > 0\\16 – 32 + m \ne 0\\16 – 32 + m – 2 \ne 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m < 16\\m < 18\\m \ne 16\\m \ne 18\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m < 16.} \right.} \right.\)

\(m\) nguyên dương và \(m < 16\) nên có 15 giá trị \(m\) cần tìm.