Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục không âm trên \(\left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\), thỏa mãn \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \cos x.\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \) với mọi \(x \in \left[ {0\,;\frac{\pi }{2}} \right]\) và \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \). Giá trị của \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng […]
Cho hình \(H\) giới hạn bởi các đường \({y^2} = 2x\) và \({x^2} + {y^2} = 8\)( phần gạch sọc trong hình). Khối tròn xoay khi quay \(H\) xung quanh trục \(Ox\) có thể tích bằng bao nhiêu? A. \(\frac{{2\pi \left( {8\sqrt 2 – 7} \right)}}{3}\). B. \(\frac{{4\pi \left( {13 – 8\sqrt 2 } […]
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Với số thực \(a > 0\), giả sử rằng mọi \(x \in \left[ {0;a} \right]\) ta có \(f\left( x \right) > 0\) và \(f\left( x \right)f\left( {a – x} \right) = 1\). Tính \(I = \int\limits_0^a {\frac{1}{{1 + f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \). A. \(\frac{a}{3}\). B. […]
Cho hàm số \(f(x) = a{x^4} – {x^3} + 2x + 2\) và hàm số \(g(x) = b{x^3} + c{x^2} + 2\), có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \({S_1};{S_2}\) là diện tích các hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ, biết \({S_2} = \frac{{791}}{{640}}\). Khi đó \({S_1}\) bằng A. \(\frac{{231}}{{640}}\). B. \(\frac{{271}}{{320}}\). C. […]
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn nhận giá trị dương trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\), thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}\) và \({f^3}\left( x \right) + {e^{ – 2x}} = 3{e^{ – x}}\sqrt {f\left( x \right)} .f’\left( x \right),\;\;\forall x \in \left( {2;4} \right)\). Khi đó \(f\left( {\frac{5}{2}} \right)\) thuộc […]
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(f’\left( x \right) – f\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right){e^x}\) và \(f\left( 0 \right) = 5\) Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3{e^x}\) bằng A. \(2\). B. \( – 3\). […]
Một sân chơi dành riêng cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng 30m, người ta làm một con đường trong sân (như hình vẽ). Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m. Kinh phí để […]
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\), có đạo hàm thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{3}{{3x – 1}},\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\) và \(f\left( 0 \right) = 2024\), \(f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 2025\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng […]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T […]
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\)\(\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua gốc tọa độ. Biết hoành độ giao điểm của […]
