Hàm số liên tục

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình :$\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{\sin x} = m$    (1)    luôn có nghiệm. Lời giải Điều kiện $ x \neq  \frac{k\pi}{2}$, với $ k \in  N$Biến đổi phương trình về dạng :       $ \sin x – \cos x – m \sin x.\cos x =0$Xét hàm […]

Đề bài: Cho $ a_1, a_2, …, a_n$ là các hằng số thực. Chứng minh rằng phương trình $a_1.\cos x + a_2 \cos 2x+…+ a_n.\cos nx = 0$ luôn có nghiệm trên $[0;2\pi ].$ Lời giải Cần giải chi tiết

Đề bài: Cho $ a +2b+4c = 0 $ Chứng minh rằng phương trình $ax^3+bx+c=0$ có nghiệm trên $(0;1)$ Lời giải Cần giải chi tiết

Đề bài: Cho $f(x)$ là hàm số thực, xác định, liên tục trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$, có $f(0) > 0$ và$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx < 1} $. Chứng minh rằng, phương trình $f(x) = sinx$ có ít nhất một nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ Lời giải Xét $F(x)=f(x)-sinx$.Từ giả thiết, $F(x)$ liên […]

Đề bài: Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\frac{x^{3}-1}{x-1}, x\neq 1 \\ 3, x=1\end{cases}\). Chứng minh rằng \(f(x)\) liên tục tại \(x=1\). Lời giải \(\mathop {\lim }\limits_{x \to1^{-}}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to1^{-}}\frac{x^3-1}{x-1}= \mathop {\lim }\limits_{x \to1^{-}} (x^{2}+x+1)=3= \mathop {\lim }\limits_{x \to1^{+}} f(x) \)\(\Rightarrow  \mathop {\lim }\limits_{x \to1}f(x)=3=f(3) \Rightarrow DPCM \)

Đề bài: Chứng minh rằng các phương trình sau đây:1) \(x^{5}-3x-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm  \(1 Lời giải 1) Hàm số \(f(x)=x^{5}-3x-1\) liên tục trên đoạn \([1,2]\)Lại biết \(f(1)f(2)=(1-3-1)(32-6-1)Suy ra đoạn đồ thị hàm số đã cho từ (1;2) cắt trục Ox.Vậy phương trình \(x^{5}-3x-1=0\) có ít nhất 1 nghiệm  \(12) Hàm số \(f(x)=x.2^{x}-1\) […]

Đề bài: Chứng minh rằng phương trình:  $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $(-7,9)$ Lời giải Đặt $t = \sqrt[3]{1-x}$Khi đó phương trình có dạng :       $2t^3 -6t +1 =0$.Xét hàm số $f(t) = 2t^3 -6t +1$ liên tục trên $R$.Ta có :       $f(-2) = -3, f(0) = 1, f(1) = -3, […]

Đề bài: Chứng minh rằng:  $ – arctanx + arctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}} = \frac{\pi }{4}$ với $\forall x \in ( – \infty ;1)$ Lời giải Xét hàm $f(x) =  – {\rm{ar}}ctan + {\rm{ar}}ctan\frac{{1 + x}}{{1 – x}}$ trong  khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$, ta có:$\begin{array}{l}f'(x) = – \frac{1}{{1 + {x^2}}} + […]

Đề bài: Tìm các khoảng và nửa khoảng ở đó hàm sau đây liên tục:$y=f(x)=\begin{cases}x^{2}+x+1         nếu  x Lời giải Ta có:$f(1)=\cos 1;   \mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{+}}\cos x = \cos1=f(1) $;    $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{-}}(c^{2}+x+1)=3 \neq f(1)$Vậy hàm đã cho liên tục bên phải và không liên tục bên […]

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}x^2-x-2,       với   x \geq  3 \\ \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2 },         với  -1< x< 3  \end{cases} $Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1;+\infty)$. Lời giải * Nếu $x>3: f(x)=x^2-x-2$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(3;+\infty  )          (1)$* Nếu […]