Đề bài: Cho $f:[0,1]\to [0,\to \infty ]$ liên tục.Đặt: $I_{n}=\int\limits^{1}_{0} f^{n}(x)dx,n\geq 3$Chứng minh rằng: $I^{2}_{n-1}\leq I_{n}.I_{n-2}$ Lời giải Ta có: $I^{2}_{n-1}=[\int\limits^{1}_{0} f^{\frac{n}{2}}(x).f^{\frac{n-2}{2}}(x)dx]^{2}$$\leq \int\limits^{1}_{0} f^{n}(x)dx\int\limits^{1}_{0} f^{n-2}(x)dx=I_{n}.I_{n-2}$$\Rightarrow$ (ĐPCM)
Hàm số liên tục
Đề: Xét tính liên tục của hàm số: $f(x)=\begin{cases} x^{3}+x+1;x\geq 1\\ 2x+4 ;x
Đề bài: Xét tính liên tục của hàm số: $f(x)=\begin{cases} x^{3}+x+1;x\geq 1\\ 2x+4 ;x Lời giải Dễ thấy ngay, hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;3), (3;5), (5;+\infty)$. Chỉ cần xét tính liên tục của $f(x)$ tại điểm $x=3,x=5$. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)=1; \mathop {\lim }\limits_{x […]
Đề: Chứng minh rằng phương trình: $x^5+x-1=0$ có nghiệm trên khoảng $(-1,1)$
Đề bài: Chứng minh rằng phương trình: $x^5+x-1=0$ có nghiệm trên khoảng $(-1,1)$ Lời giải Xét hàm số $f(x) = x^5 +x -1$ liên tục trên $R$ Ta có : $f(-1).f(1) = -3.1 = -3 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(-1,1)$
Đề: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn điều kiện $f(\alpha ) = g(\alpha )$ với mọi điểm hữu tỉ $\alpha \in [a;b]$. Chứng minh rằng $f(x) = g(x), \forall x \in [a;b]$
Đề bài: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn điều kiện $f(\alpha ) = g(\alpha )$ với mọi điểm hữu tỉ $\alpha \in [a;b]$. Chứng minh rằng $f(x) = g(x), \forall x \in [a;b]$ Lời giải Gọi ${x_o} \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ là một điểm vô tỉ, […]
Đề: Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$
Đề bài: Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$ Lời giải Xét một guyên hàm $F\left( x \right)$ của $f\left( x \right)$: $F\left( x \right) = \frac{a}{4}\sin 4{\rm{x}} + \frac{b}{3}\sin 3{\rm{x}} + \frac{c}{2}\sin 2{\rm{x}} + d{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$Thấy ngay $x = 0,x = \pi $ là nghiệm của $F\left( […]