Đề: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn điều kiện  $f(\alpha ) = g(\alpha )$ với mọi điểm hữu tỉ $\alpha  \in [a;b]$.  Chứng minh rằng $f(x) = g(x), \forall x \in [a;b]$

Đề bài: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $[a ; b]$ và thỏa mãn điều kiện  $f(\alpha ) = g(\alpha )$ với mọi điểm hữu tỉ $\alpha  \in [a;b]$.  Chứng minh rằng $f(x) = g(x), \forall x \in [a;b]$

Lời giải

Gọi ${x_o} \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ là một điểm vô
tỉ, ${\alpha _n}$ là  một số thập phân (hữu tỉ) xấp xỉ dưới ${x_o}$, viết đến ${10^{ – n}}$ : $\left| {{x_o} – {\alpha _n}} \right| .
Khi đó tồn tại ${n_o} \in N$ sao
cho $n \ge {n_o}$ ta có ${\alpha _n} \in {\rm{[}}a;b{\rm{]}}$.

Vì $f(x)
= g(x)$ tại những điểm hữu tỉ nên $f({\alpha
_n}) = g({\alpha _n})$ và ta có
$f({x_o}) – g({x_o}) = f({x_o}) – f({\alpha _n}) –
{\rm{[g}}({x_o}) – g({\alpha _n}){\rm{]}}$                (1)
Theo giả thiết $f(x), g(x)$ liên tục
trên $[a ; b]$ nên\(\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle{\rm{ }}n \to \infty \atop
\scriptstyle{\alpha _n} \to {x_o}} {\rm{[}}f({x_o}) – f({\alpha _n}){\rm{]}} = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{\scriptstyle{\rm{ }}n \to \infty \atop
\scriptstyle{\alpha _n} \to {x_o}} {\rm{[g}}({x_o})f(x) – g({\alpha _n}){\rm{]}} = 0\)
 Do đó từ $(1)$ ta có $f({x_o}) = g({x_o})$.
Vậy $f(x) = g(x),{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in
{\rm{[}}a;b{\rm{]}}$.