Đề bài: Chứng tỏ rằng hàm số sau liên tục trên $R$: $f(x) = \begin{cases}x \cos \frac{1}{x^2} khi x \neq 0 \\ 0 khi x = 0 \end{cases} $
Lời giải
Mọi $x \neq 0\,\,\,f(x)=x \cos \frac{1}{x^2} $ luôn xác định với mọi $x \neq 0$
$\Rightarrow $ Hàm số $f(x)$ liên tục với mọi $x \neq 0$.
Xét tính liên tục của $f(x)$ tại điểm $x=0$
Ta có :
$\left | x.\cos \frac{1}{x^2} \right | = |x|.\left | \cos \frac{1}{x^2} \right | \leq |x|$
$ \Rightarrow -|x| \leq x \cos x \frac{1}{x^2} \leq |x| \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left ( x.\cos \frac{1}{x^2} \right )=0$ (vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}-x= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x=0 $) (theo định lí hàm số kẹp)
Mặt khác $f(0) = 0.$
Do đó , $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0) \Rightarrow$ hàm số liên tục tại điểm $x=0$.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số thực R
Trả lời