Đề: Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình :$\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{\sin x} = m$    (1)    luôn có nghiệm.

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $m$ phương trình :$\frac{1}{\cos x} – \frac{1}{\sin x} = m$    (1)    luôn có nghiệm.

Lời giải

Điều kiện $ x \neq  \frac{k\pi}{2}$, với $ k \in  N$
Biến đổi phương trình về dạng :
      $ \sin x – \cos x – m \sin x.\cos x =0$
Xét hàm số $f(x) = \sin x- \cos x – m \sin x.\cos x$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,\frac{\pi}{2}  \right]$.
Ta có :
      $f(0) = -1 0 \Rightarrow f(0).f \left ( \frac{\pi}{2}  \right ) = -1 Vậy phương trình $f(x) = 0$ luôn có một nghiệm thuộc $ \left ( 0,\frac{\pi}{2}  \right )$
 hay  phương trình (1) luôn có một nghiệm thuộc khoảng $\left ( 0,\frac{\pi}{2}  \right )$(đpcm)