Đề: Chứng minh rằng phương trình $4x^{4}+2x^{2}-x-3=0$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(-1,1)$

Đề bài: Chứng minh rằng phương trình $4x^{4}+2x^{2}-x-3=0$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(-1,1)$

Lời giải

Xét hàm số $f(x)=4x^{4}+2x^{2}-x-3$
Vì $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên các đoạn $[-1,0]$ và $[0,1]$
Ngoài ra $\begin{cases}f(-1)=4 \\ f(0)=-3 \end{cases}$
$\Rightarrow f(-1).f(0)=-12nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm $x_{1}\in (-1,0)$
và $\begin{cases}f(x)=-3 \\ f(1)=2 \end{cases}$
$\Rightarrow f(0).f(1)=-6nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm $x_{2}\in (0,1)$
Rõ ràng $x_{1}\neq x_{2}$
Tóm lại phương trình $f(x)=0$ có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng $(-1,1)$