Đề: Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}x^2-x-2,       với   x \geq  3 \\ \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2 },         với  -1< x< 3  \end{cases} $Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1;+\infty)$.

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}x^2-x-2,       với   x \geq  3 \\ \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2 },         với  -1< x< 3  \end{cases} $Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1;+\infty)$.

Lời giải

* Nếu $x>3: f(x)=x^2-x-2$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(3;+\infty  )          (1)$
* Nếu $-1         $\sqrt[]{x+1}-2 \neq  0    \forall x \in (-1;3)$
   Vì $x-3,  \sqrt[]{x+1}-2 $ đều liên tục trên $(-1;3)$ nên $f(x)$ liên tục trên $(-1;3)                    (2)$
* Xét tại $x=3$:
        $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}\frac{x-3}{\sqrt[]{x+1}-2 }= \mathop {\lim }

\limits_{x \to 3^-}\frac{(x-3)(\sqrt[]{x+1}+2 )}{x-3}  =\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}(\sqrt[]{x+1}+2 )=4 $
        $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+} f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+}(x^2-x-2)=4  $.   Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3}f(x)=4) $
        $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+}f(x)=4$
   Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=3                                                                                                                              (3)$
   Từ $(1),(2),(3)$ ta suy ra kết luận hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1; +\infty  )$