Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ xác định bởi $f(x)=\begin{cases}x^2-x-2, với x \geq 3 \\ \frac{x-3}{\sqrt{x+1}-2 }, với -1< x< 3 \end{cases} $Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1;+\infty)$.
Lời giải
* Nếu $x>3: f(x)=x^2-x-2$ là hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $(3;+\infty ) (1)$
* Nếu $-1
Vì $x-3, \sqrt[]{x+1}-2 $ đều liên tục trên $(-1;3)$ nên $f(x)$ liên tục trên $(-1;3) (2)$
* Xét tại $x=3$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}\frac{x-3}{\sqrt[]{x+1}-2 }= \mathop {\lim }
\limits_{x \to 3^-}\frac{(x-3)(\sqrt[]{x+1}+2 )}{x-3} =\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}(\sqrt[]{x+1}+2 )=4 $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+} f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+}(x^2-x-2)=4 $. Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3}f(x)=4) $
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3^-}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3^+}f(x)=4$
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=3 (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ ta suy ra kết luận hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-1; +\infty )$
Trả lời