Đạo hàm

Đề bài: Cho hàm số \(y=2x^{2}-3x+1\). Tính số gia của hàm số tại điểm \(x_{0}=2\) với số gia của đối số cho tương ứng.a) \(\Delta x=0,1\)b) \(\Delta x=0,2\). Lời giải a) Số gia của hàm số tại \(x_{0}=2\) ứng với số gia \(\Delta x=0,1\) là:\(\Delta f=f(2+0,1)-f(2)=[2(2,1)^{2}-3(2,1)+1]-[2.2^{2}-3.2+1]=3,52\).b) Số gia tại \(x_{0}=2\) ứng với \(\Delta x=0,2\) là:\(\Delta […]

Đề bài: Tính $\frac{f^{'}(1)}{\varphi^{'}(1)} $, Biết rằng $f(x)=x^{2}$ và $\varphi (x)=4x+\sin \frac{\pi x}{2}$ Lời giải Ta có $f^{‘}(x)=2x\Rightarrow f^{‘}(1)=2$$\varphi ^{‘}(x)=4+(\frac{\pi x}{2})^{‘}\cos \frac{\pi x}{2}=4+\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi x}{2}$ $\Rightarrow \varphi ^{‘}(1)=4+\frac{\pi}{2}\cos \frac{\pi}{2}=4$ Vậy $\frac{f^{‘}(1)}{\varphi ^{‘}(1)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Đề bài: Cho hàm số \(y=f(x)=2x^{2}-x+1\).a) Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm \(x\).b) Tìm phương trình của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ \(x=1\). Lời giải a) Đạo hàm tại điểm \(x\):\(y'(x)=f'(x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{[2(x+\Delta […]

Đề bài: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\). Lời giải \(f(x)=\frac{1}{5}[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}]\)\(f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}]\). Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:\(f’=\frac{1}{5}[\frac{-1}{(x-3)^{2}}- \frac{-1}{(x+2)^{2}}]=\frac{-1}{5}[\frac{1}{(x-3)^{2}}-\frac{1}{(x+2)^{2}}]\)\(f”=\frac{-1}{5}[\frac{-2}{(x-3)^{3}}-\frac{-2}{(x+2)^{3}}]=\frac{2}{5}[\frac{1}{(x-3)^3}-\frac{1}{(x+2)^{3}}]\)giả sử đúng với bậc k: \(f^{(k)}(x)= \frac{(-1)^{k}k!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+1}}-\frac{1}{(x+2)^{k+1}}] \)ta chứng minh công thức đúng với bậc k+1:\(f^{(k+1)}(x)=  \frac{(-1)^{k}k!}{5} [\frac{-(k+1)}{(x-3)^{k+2}}-\frac{-(k+1)}{(x+2)^{k+2}}]= \frac{(-1)^{k+1}(k+1)!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{k+2}}-\frac{1}{(x+2)^{k+2}}] \)$\Rightarrow $ đúng với k+1

Đề bài: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm \(x\).a) \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)b) \(y=\sqrt{x+1}+x\) Lời giải a) \(y'(x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  \frac{\frac{2(x+\Delta x)-1}{x+\Delta x +1}- \frac{2x-1}{x+1}}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-3(x+1)+3(x+\Delta x+1)}{\Delta x(x-1)(x+\Delta x -1)}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x […]

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $;                            b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}  } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b  $ với $a> 0, b > 0$ Lời giải a) $y = \sqrt[ 5]{\ln^3( 5x )} = (\ln (5x))^ \frac{3}{5}  $ $\Rightarrow […]

Đề bài: Chứng tỏ rằng hàm số $y = a \cos x + b \sin x$, trong đó $a,b$ là các hằng số tùy ý, thỏa mãn phương trình: $ y''+y = 0$ Lời giải Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta được :       $ y’ = -a \sin x + b \cos […]

Đề bài: Cho hàm số:  $ f(x) = \sqrt{-x^2+3x-2}$Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:  $ \frac{2f^2(x)}{(3-2x)}f'(x) = \sqrt{2m+x-x^2} \,\,\,\,\,\,\,(1)$ Lời giải Ta có :       $f'(x) = \frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x-2} }$.Khi đó, phương trình (1) có dạng :       $\frac{2(-x+3x-2)(-2x+3)}{2(3-2x)\sqrt{-x^2+3x-2} } = \sqrt{2m+x-x^2}$.      $\Leftrightarrow  \sqrt{-x +3x -2} = \sqrt{2m+x-x^2} \Leftrightarrow  \begin{cases}-x^2+3x-2 = 2m +x -x^2> […]

Đề bài: Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) $y = \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}  }$                  b) $y = \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+1} }$ Lời giải a) Viết lại hàm số dưới dạng :       $ y = \frac{2 (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}) }{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})} =\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$$\Rightarrow y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1} }-\frac{1}{2\sqrt{x-1} }$b) Viết lại hàm số dưới dạng:  $y = \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{2}}} = (x+1)^{-\frac{3}{2}}$$\Rightarrow y’=-\frac{3}{2}(x+1)^{-\frac{5}{3}}$