(Sở Phú Thọ 2022) Cho hình nón \(\left( \aleph \right)\) có chiều cao bằng \(2a\). Cắt \(\left( \aleph \right)\) bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng \(a\) ta được thiết diện có diện tích bằng \(\frac{{4{a^2}\sqrt {11} }}{3}\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
A. \(\frac{{10{\rm{\pi }}{a^3}}}{3}\).
B. \(10{\rm{\pi }}{a^3}\).
C. \(\frac{{4{\rm{\pi }}{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).
D. \(\frac{{4{\rm{\pi }}{a^3}\sqrt 5 }}{9}\).
Lời giải:
Chọn A
Dựng mặt phẳng qua đỉnh \(\left( {SBC} \right)\) của hình nón, gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Theo giả thiết: \(SO = 2a;\,\,{S_{\Delta SBC}} = \frac{{4{a^2}\sqrt {11} }}{3};\,\,OH = d\left( {O\,,\left( {SBC} \right)} \right) = a\).
Trong \(\Delta SOI\) vuông tại \(O\) có: \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} \Rightarrow OI = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\); \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có: \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SI.BC \Rightarrow BC = \frac{{2S}}{{SI}} = \frac{{2a\sqrt {33} }}{3} \Rightarrow IC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\).
Trong \(\Delta OIC\) vuông tại \(I\) có: \(OC = \sqrt {O{I^2} + I{C^2}} = a\sqrt 5 \).
Vậy thể tích của khối nón đã cho là: \(V = \frac{1}{3}{\rm{\pi }}SO.O{C^2} = \frac{{10{\rm{\pi }}{a^3}}}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Khối tròn xoay
Trả lời