Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm $2002$ được tính bởi công thức $f\left( t \right)=\dfrac{26t+10}{t+5}$ ( $f\left( t \right)$ được tính bằng nghìn người)

Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm $2002$ được tính bởi công thức $f\left( t \right)=\dfrac{26t+10}{t+5}$ ( $f\left( t \right)$ được tính bằng nghìn người). Đạo hàm của hàm số $y=f\left( t \right)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là $0,075$ nghìn người/năm?

Lời giải

Đáp án: 2037.

Ta có: $f\left( t \right)=\dfrac{26t+10}{t+5}$

Vì $t$ là số năm nên $t{>}0$.

Hàm số xác định với $\forall t{>}0$.

$\begin{array}{l}

{f}’\left( t \right)=\dfrac{120}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}. \\

\Rightarrow {f}’\left( t \right)=0,075\Leftrightarrow \dfrac{120}{{{\left( t+5 \right)}^{2}}}=0,075\Leftrightarrow {{\left( t+5 \right)}^{2}}=1600\Leftrightarrow {{\left( t+5 \right)}^{2}}={{40}^{2}}. \\

\end{array}$

Vì $t{>}0$ nên $t=35$.

Vậy sau $35$ năm kể từ năm $2002$, tức là vào năm $2037$ thì tốc độ tăng dân số của thi trấn đó là $0,075$ nghìn người/năm.