Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$ ( $m$ là tham số thực)

Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+mx-1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$ ( $m$ là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho $OA\bot OB$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án: 3.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$ là

$\dfrac{{{x}^{2}}+mx-1}{x-1}=m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

x\ne 1 \\

{{x}^{2}}+mx-1=mx-m \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

x\ne 1 \\

g\left( x \right)={{x}^{2}}+m-1=0 \\

\end{array} \right.$.

Đường thẳng $d:y=m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

{\Delta }’=1-m{>}0 \\

g\left( 1 \right)=m\ne 0 \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;1 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Gọi $A\left( {{x}_{1}};m \right)$, $B\left( {{x}_{2}};m \right)$. Khi đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của phương trình $g\left( x \right)=0$.

Theo định lí Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}

{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\

{{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\

\end{array} \right.$.

Khi đó $OA\bot OB\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

m=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\

m=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\

\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Tổng bình phương các giá trị của $m$ là ${{\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=3$.