Hai thành phố A và B cách nhau một con sông

Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu $EF$ bắc qua sông. Biết rằng thành phố $A$ cách con sông một khoảng là $4km$ và thành phố $B$ cách con sông một khoảng là $6km$(hình vẽ), biết $HE+KF=20km$ và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi xây cây cầu tại vị trí $E$cách thành phố $A$ là bao nhiêu $km$ để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)? (kết quả làm tròn đến phần trăm).

Lời giải

Đặt $HE={{x}_{{}}}{{,}_{{}}}FK=y$, với $x,\,y>0$

Ta có: $HE+KF=20\Rightarrow x+y=20$, $\left\{ \begin{align}

& AE=\sqrt{16+{{x}^{2}}} \\

& BF=\sqrt{36+{{y}^{2}}}=\sqrt{36+{{\left( 20-x \right)}^{2}}} \\

\end{align} \right.$

Nhận xét: Vì $EF$ không đổi nên $AB$ ngắn nhất khi $AE+BF$ nhỏ nhất.

Ta có $AE+BF$$=\sqrt{{{x}^{2}}+16}+\sqrt{{{(20-x)}^{2}}+36}=\sqrt{{{x}^{2}}+16}+\sqrt{{{x}^{2}}-40x+436}=f(x)$

${f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+16}}+\frac{x-20}{\sqrt{{{x}^{2}}-40x+436}},\,\forall x\in \left( 0;20 \right)$.

Cho ${f}'(x)=0\Rightarrow x=8$

Bảng biến thiên

Vậy $AE=\sqrt{{{8}^{2}}+16}\approx 8,94km$.