Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Hai đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x}.lna,\left( {{C_2}} \right):y = {b^x}.lnb,\left( {b > a > 1} \right)\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) tạo thành hình thang cong \(MNPQ\)có diện tích bằng \(4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2b\) bằng
A. \(3\).
B. \(3\sqrt[3]{4}\).
C. \(7\).
D. \(5\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có
\({S_{MNPQ}} = \int\limits_1^2 {\left( {{b^x}.\ln b – {a^x}.\ln a} \right)dx} = \left( {{b^2} – {a^2}} \right) – \left( {b – a} \right) = \left( {b – a} \right)\left( {b + a – 1} \right) = 4 \Rightarrow b + a – 1 = \frac{4}{{b – a}}\)
\(P = 2b = \left( {b + a} \right) + \left( {b – a} \right) = \frac{4}{{b – a}} + 1 + \left( {b – a} \right) = \frac{4}{{b – a}} + \left( {b – a} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\frac{4}{{b – a}}.\left( {b – a} \right)} + 1 = 4 + 1 = 5.\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2b\) bằng \(5\). Dấu bằng xảy ra khi \(b – a = 2\).
Trả lời