Hai đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x}.lna,\left( {{C_2}} \right):y = {b^x}.lnb,\left( {b > a > 1} \right)\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) tạo thành hình thang cong \(MNPQ\)có diện tích bằng \(4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2b\) bằng

DẠNG TOÁN 48 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
  Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Hai đường cong \(\left( {{C_1}} \right):y = {a^x}.lna,\left( {{C_2}} \right):y = {b^x}.lnb,\left( {b > a > 1} \right)\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) tạo thành hình thang cong \(MNPQ\)có diện tích bằng \(4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2b\) bằng

A. \(3\). 

B. \(3\sqrt[3]{4}\). 

C. \(7\). 

D. \(5\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có

\({S_{MNPQ}} = \int\limits_1^2 {\left( {{b^x}.\ln b – {a^x}.\ln a} \right)dx}  = \left( {{b^2} – {a^2}} \right) – \left( {b – a} \right) = \left( {b – a} \right)\left( {b + a – 1} \right) = 4 \Rightarrow b + a – 1 = \frac{4}{{b – a}}\)

\(P = 2b = \left( {b + a} \right) + \left( {b – a} \right) = \frac{4}{{b – a}} + 1 + \left( {b – a} \right) = \frac{4}{{b – a}} + \left( {b – a} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\frac{4}{{b – a}}.\left( {b – a} \right)}  + 1 = 4 + 1 = 5.\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2b\) bằng \(5\). Dấu bằng xảy ra khi \(b – a = 2\).