Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là

Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là

A. \( – \frac{{11}}{3}\).

B. \(\frac{{13}}{6}\).

C. \( – \frac{{11}}{6}\).

D. \(\frac{1}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét \(u(x) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\). Dễ thấy \(u(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)

Ta có \(u’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;\,2} \right]\\x = – 2 \notin \left[ {1;\,2} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max }}u(x)}\limits_{\left[ {1;2} \right]} = {\rm{max}}\left\{ {u\left( 1 \right),u\left( 2 \right)} \right\} = {\rm{max}}\left\{ {m + \frac{1}{2},\,\,m + \frac{4}{3}} \right\} = m + \frac{4}{3}\\\mathop {{\rm{min }}u(x)}\limits_{\left[ {1;2} \right]} = {\rm{min}}\left\{ {u\left( 1 \right),u\left( 2 \right)} \right\} = {\rm{min}}\left\{ {m + \frac{1}{2},\,\,m + \frac{4}{3}} \right\} = m + \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(\mathop {{\rm{m}}ax}\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = {\rm{max}}\left\{ {\left| {m + \frac{1}{2}} \right|,\,\,\left| {m + \frac{4}{3}} \right|} \right\} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + \frac{1}{2}} \right| = 2\\\left| {m + \frac{1}{2}} \right| \ge \left| {m + \frac{4}{3}} \right|\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {m + \frac{4}{3}} \right| = 2\\\left| {m + \frac{4}{3}} \right| \ge \left| {m + \frac{1}{2}} \right|\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – \frac{5}{2}\\m = \frac{2}{3}\end{array} \right.\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \( – \frac{{11}}{6}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số