Câu hỏi:
Cho hàm số\(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số\(y = \left| {f(2 – \cos x) + m} \right|\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
A. \(4\).
B. \( – 16\).
C. \( – 32\).
D. \( – 12\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(t = 2 – \cos x\) ta có \(t \in \left[ {1;3} \right]\). Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \left| {{t^3} – 3t + m} \right|\) với \(\forall t \in \left[ {1;3} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.
Xét \(u\left( t \right) = {t^3} – 3t + m\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\). Ta có hàm số \(u(t)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
\(u’\left( t \right) = 3{t^2} – 3\).
\(u'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1 \notin \left( {1;3} \right)\,\\t = 1 \notin \left( {1;3} \right)\end{array} \right..\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max u}}}\limits_{\left[ {1;3} \right]} (t) = {\rm{max}}\left\{ {u\left( 1 \right);u(3)} \right\} = \max \left\{ {m + 18;m – 2} \right\} = m + 18\\\mathop {{\rm{min u(t)}}}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = {\rm{min}}\left\{ {u\left( 1 \right);u(3)} \right\} = \min \left\{ {m + 18;m – 2} \right\} = m – 2\end{array} \right.\).
Yêu cầu bài tập: \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = 2\).
Trường hợp 1: \(m – 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 2\)
\( \Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = \left| {m – 2} \right| = m – 2\); \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = 2 \Leftrightarrow m – 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4\) (thỏa mãn)
Trường hợp 2: \(m + 18 \le 0 \Leftrightarrow m \le – 18\)
\( \Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = \left| {m + 18} \right| = – (m + 18)\); \(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = 2 \Leftrightarrow – (m + 18) = 2 \Leftrightarrow m = – 20\) (thỏa mãn)
Trường hợp 3: \((m + 18)(m – 2) \le 0 \Leftrightarrow – 18 \le m \le 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = 0 \ne 2\) (loại)
Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng \( – 16\). Chọn phương án.
B.
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời