Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;20} \right]\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| – f(x) – 3} \right|\) trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right]\) không bé hơn \(1\)?
A. \(18\).
B. \(19\).
C. \(20\).
D. \(21\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Dựa vào hình vẽ ta có: \( – 2 \le f(x) \le 2,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\,\)\(\left( * \right)\).
\( \Rightarrow 2f\left( x \right) + 4 \ge 0,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
Vì \(m \in \left[ {0;20} \right]\) nên \(2f\left( x \right) + m + 4 \ge 0\)
suy ra \(\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| = 2f\left( x \right) + m + 4,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
Ta có:
\(g\left( x \right) = \left| {\left| {2f\left( x \right) + m + 4} \right| – f(x) – 3} \right|\) \( = \left| {2f\left( x \right) + m + 4 – f\left( x \right) – 3} \right|\) \( = \left| {f\left( x \right) + m + 1} \right|\),\(\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
+) Với \(m = 0\)\( \Rightarrow \)\(g\left( x \right) = \left| {f\left( x \right) + 1} \right|\), \(\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \)\( – 1 \le f\left( x \right) + 1 \le 3,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
\( \Rightarrow 0 \le \left| {f\left( x \right) + 1} \right| \le 3,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\)\( \Leftrightarrow 0 \le g\left( x \right) \le 3,\forall x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
\( \Rightarrow \) \(\mathop {min}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \,g\left( x \right) = 0\) \( \Rightarrow m = 0\) không thỏa yêu cầu bài toán.
+) Với \(m \in \left[ {1;20} \right]\)\( \Rightarrow f\left( x \right) + m + 1 \ge 0 \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + m + 1\).
Từ \(\left( * \right)\) ta có: \(f\left( x \right) + m + 1 \ge m – 1\)\( \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \,g\left( x \right) = m – 1\).
Yêu cầu bài toán: \(\mathop {min}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} \,g\left( x \right) \ge 1 \Leftrightarrow \)\(m – 1 \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 2\) \( \Rightarrow m \in \left[ {2;20} \right]\).
Vậy có \(19\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
=======Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời