Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho \(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right| \le 16,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho \(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right| \le 16,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

A. \( – 104\).

B. \(104\).

C. \( – 96\).

D. \(96\).

Lời giải

Chọn A

\(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right| \le 16,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow – 16 \le {x^3} – 3x + m \le 16,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow – 16 – m \le {x^3} – 3x \le 16 – m,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 16 – m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{x^3} – 3x} \right)\\16 – m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{x^3} – 3x} \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm \(y = {x^3} – 3x\)với \(x \in \left[ {0;\,3} \right]\)

\(y’ = 3{x^2} – 3\); \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in \left[ {0;\,3} \right]}\\{x = – 1 \notin \left[ {0;\,3} \right]}\end{array}} \right.\).

Mà \(y\left( 0 \right) = 0;\,y\left( 1 \right) = – 2;\,y\left( 3 \right) = 18 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{x^3} – 3x} \right) = – 2;\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{x^3} – 3x} \right) = 18\)

Vậycó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 16 – m \le – 2}\\{16 – m \ge 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow – 14 \le m \le – 2\).

Tổng các giá trị của \(m\)là \( – 104\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số