Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = \left| {\frac{{x – {m^2}}}{{x + 1}}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 trên đoạn. Tính tổng các phần tử của S?

Câu hỏi:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = \left| {\frac{{x – {m^2}}}{{x + 1}}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 trên đoạn. Tính tổng các phần tử của S?

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(0.\)

D. \( – 1.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 1}}\) có \(f’\left( x \right) = \frac{{1 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne – 1\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x – {m^2}}}{{x + 1}}\)đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\)

Có \(f\left( 1 \right) = \frac{{1 – {m^2}}}{2};\,f\left( 2 \right) = \frac{{2 – {m^2}}}{3}\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = \frac{{2 – {m^2}}}{3};\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = \frac{{1 – {m^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \min \left\{ {\left| {\frac{{1 – {m^2}}}{2}} \right|;\left| {\frac{{2 – {m^2}}}{3}} \right|} \right\} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{1 – {m^2}}}{2}} \right| = 0}\\{\left| {\frac{{1 – {m^2}}}{2}} \right| \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow m = \pm 1} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{1 – {m^2}}}{2}} \right| \ne 0}\\{\left| {\frac{{1 – {m^2}}}{2}} \right| = 0}\end{array} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 } \right.}\end{array}} \right.\).

Do đó tổng các phần tử của tập S bằng \(1 + \left( { – 1} \right) + \sqrt 2 + \left( { – \sqrt 2 } \right) = 0\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số