Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x\) và trục hoành. Hai đường thẳng \(y = m\) và \(y = n\) chia \((H)\)thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá trị của biểu thức \(T = {(4 – m)^3} + {(4 – n)^3}\) bằng
A. \(T = \frac{{320}}{9}\).
B. \(T = \frac{{512}}{{15}}\).
C. \(T = 405\).
D. \(T = \frac{{75}}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
*) Chứng minh công thức tính nhanh diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ (}}a \ne 0)\)cắt trục hoành tại 2 điểm \({x_1},{x_2}\) và trục hoành (\({x_1} < {x_2}\) )
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\rm{ (}}a \ne 0)\)và trục hoành là
\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {a{x^2} + bx + c} \right|dx} \)
Không mất tính tổng quát, sử a<0. Vì đồ thị hàm số đã cắt trục hoành tại hai điểm
phân biệt \({x_1},{x_2}\) nên \(a{x^2} + bx + c \ge 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right].\) Do đó,
\(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {(a{x^2} + bx + c)dx} \)\( = \left. {(\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \frac{a}{3}(x_2^3 – x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 – x_1^2) + c(x_2^{} – x_1^{})\)
\( = ({x_2} – {x_1})\left[ {\frac{a}{3}(x_2^2 + {x_2}{x_1} + x_1^2) + \frac{b}{2}({x_2} + {x_1}) + c} \right] = – \frac{{\sqrt \Delta }}{a}\left[ {\frac{a}{3}(\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} – \frac{c}{a}) + \frac{b}{2}(\frac{{ – b}}{a}) + c} \right]\)
\( = – \frac{{\sqrt \Delta }}{a}\left[ {\frac{{ – {b^2} + 4ac}}{{6a}}} \right] = \frac{{\sqrt \Delta }}{a}\left[ {\frac{{{b^2} – 4ac}}{{6a}}} \right] = \frac{{\Delta \sqrt \Delta }}{{6{a^2}}}\). Vậy
*) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải bài tập:
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x\) và trục hoành
Ta có \(S = \frac{{\Delta \sqrt \Delta }}{{6{a^2}}} = \frac{{16\sqrt {16} }}{6} = \frac{{32}}{3}\)
+) Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x{\rm{ (P)}}\) và \(y = m\)
Tịnh tiến (P) xuống dưới \(m\) đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x – m{\rm{ }}\)
Khi đó \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x – m\)và trục Ox
\({S_1}^2 = \frac{{\Delta _1^3}}{{36a_1^4}} = \frac{{{{(16 – 4m)}^3}}}{{36}} \Leftrightarrow {(4 – m)^3} = \frac{{36{S_1}^2}}{{{4^3}}}{\rm{ (1)}}\)
+) Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x{\rm{ (P)}}\) và \(y = n\)
Tịnh tiến (P) xuông \(n\) đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x – n{\rm{ }}\)
Khi đó \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = – {x^2} + 4x – n\)và trục Ox
\({S_2}^2 = \frac{{\Delta _2^3}}{{36a_2^4}} = \frac{{{{(16 – 4n)}^3}}}{{36}} \Leftrightarrow {(4 – n)^3} = \frac{{36{S_2}^2}}{{{4^3}}}{\rm{ (2)}}\)
Theo bài ra ta có \({S_1} = \frac{S}{3} = \frac{{32}}{9};{\rm{ S = }}\frac{{2S}}{3} = \frac{{64}}{9}\)
Từ (1) và (2) ta có \(T = \frac{{36({S_1}^2 + {S_2}^2)}}{{{4^3}}} = \frac{9}{{16}}.\frac{{5120}}{{81}} = \frac{{320}}{9}\).
⮲ Mức độ 4.
Để lại một bình luận