GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 8 Đường vuông góc và đường xiên – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều
================
Giải bài 52 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho góc xOy và điểm B thuộc tia Ox, B ≠ O. Vẽ H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng Oy trong các trường hợp sau:
a) \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn;
b) \(\widehat {xOy}\) là góc vuông;
c) \(\widehat {xOy}\) là góc tù.
Phương pháp giải
Vẽ hình cho từng trường hợp.
Lời giải chi tiết
a) \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn
b) \(\widehat {xOy}\) là góc vuông;
c) \(\widehat {xOy}\) là góc tù.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 53 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có H là hình chiếu của A trên đường thẳng BC, lấy điểm M nằm giữa A và H. Chứng minh:
a) BH = CH;
b) MB = MC;
c) MA < AC.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) suy ra BH = CH.
– Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ACM(c – g – c)\) suy ra BM = CM.
– Chứng minh góc AMC là góc tù và sử dụng mỗi quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh: MA < AC
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Xét ∆AHB và ∆AHC có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BA = AC (chứng minh trên),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
Vậy BH = CH.
b) Vì ∆ABH = ∆ACH (chứng minh câu a)
Suy ra \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\) (hai góc tương ứng).
Xét ∆AMB và ∆AMC có:
BA = AC (chứng minh câu a),
\(\widehat {MAB} = \widehat {MAC}\) (do \(\widehat {HAB} = \widehat {HAC}\)),
AM là cạnh chung
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c).
Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CM.
c) Vì \(\widehat {AMC}\) là góc ngoài của tam giác CMH tại đỉnh M
Nên \(\widehat {AMC} = \widehat {MHC} + \widehat {MCH}\)
Mà \(\widehat {MHC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AMC}\) là góc tù
Xét tam giác AMC có \(\widehat {AMC}\) là góc tù
Nên MC < AC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất).
Vậy MC < AC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 54 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, vẽ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC tùy ý (Hình 40).
Phương pháp giải
– Sử dụng đường vuông góc và đường xiên để so sánh độ dài AH và AB, AH và AC.
– Nếu AB = AC thì chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\) suy ra BH = CH.
– Nếu DH = CH thì chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\) suy ra AB = AC.
Lời giải chi tiết
a) Ta có AH và AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AB.
Tương tự, AH và AC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
Suy ra AH < AC.
Vậy AH < AB và AH < AC.
b) • Nếu AB = AC.
Xét ∆AHB và ∆AHC có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AB = AC (giả thiết),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng).
• Nếu BH = CH
Xét ∆AHB và ∆AHC có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BH = CH (giả thiết),
AH là cạnh chung
Do đó ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Vậy nếu AB = AC thì HB = HC; ngược lại, nếu HB = HC thì AB = AC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 55 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC.
a) Vẽ E là hình chiếu của A trên đường thẳng BM.
b) Vẽ F là hình chiếu của C trên đường thẳng BM.
c) Chứng minh BE + BF > 2AB.
Phương pháp giải
– Vẽ hình chiếu là vẽ đường vuông góc với chân đường vuông góc là hình chiếu.
– Sử dụng đường vuông góc và đường xiên để chứng minh BE + BF > 2AB
Lời giải chi tiết
a)
b)
c) Xét ∆MAE và ∆MCF có:
\(\widehat {AEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
MA = MC (vì M là trung điểm của AC),
\(\widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆MAE = ∆MCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF (hai cạnh tương ứng).
Ta có BA và BM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm B xuống đường thẳng AC
Suy ra AB < BM.
Hay AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:
AB + AB < BE + EM + BF – MF
Mà ME = MF
Do đó 2AB < BE + BF.
Vậy BE + BF > 2AB.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 56 trang 85 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
b) CN = MA;
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
Phương pháp giải
– Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
– Chứng minh: \(\Delta MAB = \Delta NCA\) suy ra MA = NC
– Chứng minh: Nếu a // BC suy ra MA = MB (1)
Nếu a // BC suy ra CN = AN (2)
Từ (1), (2) và câu a) suy ra MA = AN.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆MAB vuông tại M có: \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Ta có \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {CAN} = 180^\circ – \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Lại có \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
Vậy \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:
\(\widehat {BMA} = \widehat {ANC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
\(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)
Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ – 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
• Nếu a // BC thì \(\widehat {MAB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).
Do đó \(\widehat {MAB} = 45^\circ \)
Xét ∆ABM có \(\widehat {AMB} + \widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat {MBA} = 180^\circ – \widehat {AMB} – \widehat {MAB} = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) (cùng bằng 45°).
Xét ∆AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) nên ∆AMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
• Nếu a // BC thì \(\widehat {CAN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong)
Xét ∆ABM có \(\widehat {ACN} + \widehat {ANC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat {ACN} = 180^\circ – \widehat {ANC} – \widehat {CAN} = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) (cùng bằng 45°).
Xét ∆ANC có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 57 trang 86 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.
Phương pháp giải
Chứng minh: AD = HD và HD < DC suy ra AD < DC
Lời giải chi tiết
Kẻ DH ⊥ BC.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \({\hat B_1} = {\hat B_2}\)
Xét ∆DAB và ∆DHB có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {BHD}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BD là cạnh chung,
\({\hat B_1} = {\hat B_2}\) (chứng minh trên)
Do đó ∆DAB = ∆DHB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì ∆DHC vuông tại H nên HD < DC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD < DC.
Vậy AD < DC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 58 trang 86 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC). Qua C kẻ tia Cx vuông góc với AC cắt BD tại M.
a) Chứng minh tam giác CBM là tam giác cân.
b) So sánh độ dài CM và AC.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\widehat M = \widehat {{B_2}}\) suy ra tam giác CBM cân tại C.
– Chứng minh: CM = BC và BC > AC suy ra CM > AC
Lời giải chi tiết
a) Vì ∆ABD vuông tại A nên \({\hat B_1} + {\hat D_1} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o)
Mà \({\hat B_1} = {\hat B_2}\) (do BD là tia phân giác của góc ABC) và \({\hat D_1} = {\hat D_2}\) (hai góc đối đỉnh).
Nên \({\hat B_2} + {\hat D_2} = 90^\circ \)
Vì ∆CDM vuông tại C nên \(\hat M + {\hat D_2} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Suy ra \(\hat M = {\hat B_2}\)
Do đó tam giác CBM cân tại C.
Vậy tam giác CBM cân tại C.
b) Vì tam giác CBM cân tại C (chứng minh câu a)
Nên CM = BC.
Vì ∆ABC vuông tại A nên BC > AC (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra CM > AC.
Vậy CM > AC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
Giải bài 59 trang 86 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên Ax (Hình 41).
Phương pháp giải
– Sử dụng trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất để chứng minh \(BH + CK \le BC\)
– Tìm điều kiện BH + CK lớn nhất khi nào?
Lời giải chi tiết
a) Vì ∆BHE vuông tại H nên BH ≤ BE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Vì ∆CKE vuông tại K nên CK ≤ CE (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Suy ra BH + CK ≤ BE + CE = BC.
Vậy BH + CK ≤ BC.
b) Ta có BH + CK ≤ BC (theo câu a).
Do đó BH + CK lớn nhất khi BH + CK = BC
Điều này xảy ra khi và chỉ khi BH = BE, CK = CE.
Khi đó BH ≡ BE, CK ≡ CE
Do đó BE ⊥ Ax và CE ⊥ Ax
Hay BC ⊥ Ax.
Vậy nếu tổng BH + CK lớn nhất thì tia Ax phải vuông góc với BC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 8
=============
Để lại một bình luận