Giải SBT bài 12 Tính chất ba đường trung trực của tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều

GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 12 Tính chất ba đường trung trực của tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều

================

Giải bài 85 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác để xác định các phát biểu đúng sai

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC, DBC là tam giác đều nên AB = AC = BC = BD = DC.

•Ta có CA = CD nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do BA = BD nên B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Suy ra BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó phát biểu a là đúng.

•Vì BC = BD nên điểm B nằm trên đường trung trực của CD.

Do đó phát biểu c là đúng.

•Vì CB = CD nên điểm C nằm trên đường trung trực của BD.

Do đó phát biểu d là sai.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)

Trong tam giácABI vuông tại I có \(\widehat {IAB} + \widehat {IBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {IAB} = 90^\circ  – \widehat {IBA} = 90^\circ  – 60^\circ  = 30^\circ \).

Xét tam giác ABI có \(\widehat {ABI} > \widehat {IAB}\) (do 60° > 30°).

Suy ra AI > BI (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Do đó điểm I không cách đều hai điểm A và B nên phát biểu b là sai.

Vậy phát biểu a, c là đúng; phát biểu b, d là sai.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 86 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất ba đường trung trực và tía phân giác trong tam giác cân, tổng ba góc của một tam giác để tính các số đo góc của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Đặt \(\widehat {DCA} = x\).

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACB} = 2\widehat {ACD} = 2\widehat {BCD} = 2x\)

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Suy ra \(\widehat {ABC} = 2x\)

Do điểm D nằm trên đường trung trực của canhk AC nên DA = DC.

Do đó tam giác DAC cân ở D nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA} = x\).

Xét ∆ABC có \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Hay 2x + 2x + x = 180° nên 5x = 180°.

Suy ra x = 180°: 5 = 36°.

Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC} = 2.36^\circ  = 72^\circ ,\widehat {BAC} = 36^\circ \)

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 87 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

\(\widehat {API} = \widehat {AQI}\) (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {PAI} = \widehat {NAI}\) (hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

Mà \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) (do tam giác ABC đều).

Nên \(\widehat {PAI} = \widehat {NAI} = 30^\circ \)

Xét tam giác API vuông tại P có: \(\widehat {PAI} + \widehat {PIA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra \(\widehat {PIA} = 90^\circ  – \widehat {PAI} = 90^\circ  – 30^\circ  = 60^\circ \)

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {PIB} = 60^\circ \).

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

\(\widehat {API} = \widehat {BPI} = 90^\circ \),

PI là cạnh chung,

\(\widehat {PIA} = \widehat {PIB}\) (cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 88 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Chứng minh M là trung điểm của BC

Lời giải chi tiết

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB}\) (1)

Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ  – \widehat {ABC}\) (2)

Ta có \(\widehat {BAM} + \widehat {MAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {MAC} = 90^\circ  – \widehat {MBA}\) (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)

Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.

Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 89 trang 94 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

– Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

– Cho \(\widehat {xOy} = 30^\circ \) chứng minh: \(\widehat {EOM} = 2\widehat {xOM}\) và \(\widehat {MOF} = 2\widehat {MOy}\) từ đó chứng minh

\(\widehat {EOF} = \widehat {EOM} + \widehat {MOF} = 2\widehat {xOM} + 2\widehat {MOy}\)\( = 2\left( {\widehat {xOM} + \widehat {MOy}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

Lời giải chi tiết

a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

b)

 

Gọi H là trung điểm của EM.

Xét ∆OEH và ∆OMH có:

\(\widehat {OHE} = \widehat {OHM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

OH là cạnh chung,

EH = MH (do H là trung điểm của EM).

Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {{\rm{EOH}}} = \widehat {MOH}\) (hai góc tương ứng).

Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên \(\widehat {{\rm{EOx}}} = \widehat {xOM} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{EOM}}}\)

Hay \(\widehat {EOM} = 2\widehat {xOM}\).

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\widehat {{\rm{FOy}}} = \widehat {MOy} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{MOF}}}\)

Hay\(\widehat {MOF} = 2\widehat {MOy}\)

Ta có: \(\widehat {EOF} = \widehat {EOM} + \widehat {MOF} = 2\widehat {xOM} + 2\widehat {MOy}\)\( = 2\left( {\widehat {xOM} + \widehat {MOy}} \right) = 2\widehat {xOy} = 2.30^\circ  = 60^\circ \)

Vậy nếu \(\widehat {xOy} = 30^\circ \) thì \(\widehat {EOF} = 60^\circ \). 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 90 trang 95 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

–  Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB. Chứng minh: DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

– Chứng minh: IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

– Sử dụng tia phân giác của một góc, hai tam giác bằng nhau và tổng ba góc trong một tam giác để tìm số đo các góc của tam giác IBC

Lời giải chi tiết

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\hat B = \hat C\).

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = \(\frac{1}{2}\)AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQI và ∆API có:

\(\widehat {AQI} = \widehat {API}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

\(\widehat {BQ{\rm{D}}} = \widehat {CPE}\left( { = 90^\circ } \right)\),

\(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {QAI} = \widehat {PAI}\) (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ \)

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có \(\widehat {BAI} = 60^\circ \) nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét ∆BAC và ∆BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {IBC},\widehat {BAC} = \widehat {BIC}\widehat {,ACB} = \widehat {ICB}\)  (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Mà \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) (giả thiết) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do ∆ABCcân tại A).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  – \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  – 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Do đó \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB} = 30^\circ ,\widehat {BIC} = 120^\circ \)

Vậy \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB} = 30^\circ ,\widehat {BIC} = 120^\circ \). 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

Giải bài 91 trang 95 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

– Chứng minh: M nằm trên đường trung trực của AB và AC và M nằm trên đường trung trực của HK nên ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

– Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác, hai tam giác bằng nhau và tam giác cân để tính số đo các góc của tam giác MKH.

Lời giải chi tiết

a) • Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (do AM là tia phân giác của góc BAC),

AM là cạnh chung

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra MB = MC (hai cạnh tương ứng).

• Ta có AM là tia phân giác của góc BAC nên:

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.90^\circ  = 45^\circ \)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác ABC)

Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do ∆ABC cân tại A)

Nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  – \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  – 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

 Xét ∆ABM có \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB}\) (cùng bằng 45°) nên tam giác ABM cân tại M.

Suy ra MA = MB

Mà MB = MC nên MA = MB = MC.

Do đó M nằm trên đường trung trực của AB và AC (1)

•Trong tam giác ABH vuông tại H có \({\hat B_1} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên \({\hat B_1} = 90^\circ  – \widehat {BAH}\)

Mà \({\hat A_1} = \widehat {BAC} – \widehat {BAH} = 90^\circ  – \widehat {BAH}\)

Suy ra \({\hat B_1} = {\hat A_1}\)

Xét ∆BAH và ∆ACK có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AKC}\left( { = 90^\circ } \right)\)

\({\hat B_1} = {\hat A_1}\) (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh ở câu a),

Do đó ∆ABH = ∆CAK (cạnh huyển – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (hai góc tương ứng).

Ta có \(\widehat {BAH} = \widehat {BAM} + \widehat {MAH} = 45^\circ  + \widehat {MAH}\)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {MAH} = \widehat {MCK}\).

Xét ∆AMH và ∆CMK có:

AH = CK (chứng minh trên),

\(\widehat {MAH} = \widehat {MCK}\) (chứng minh trên),

AM = AM (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c)

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Hay M nằm trên đường trung trực của HK (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm M nằm trên đường trung trực của AB, AC, HK.

Vậy ba đường trung trực tương ứng của các đoạn thẳng AB, AC, KH cùng đi qua điểm M.

b) • Ta có \(\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\) (hai góc tương ứng của ∆AMH = ∆CMK).

Mà \(\widehat {HMK} = \widehat {HMC} + \widehat {CMK}\)

Do đó\(\widehat {HMK} = \widehat {HMC} + \widehat {AMH} = \widehat {AMC} = 90^\circ \) nên tam giác MHK vuông tại H.

• Ta có MH = MK nên tam giác MHK cân tại M.

Suy ra \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH}\)

•Trong tam giác MHK vuông tại H có \(\widehat {MHK} + \widehat {MKH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH}\) (chứng minh trên)

Suy ra\(\widehat {MHK} = \widehat {MKH} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Vậy ∆MKH có \(\widehat {MHK} = \widehat {MKH} = 45^\circ ,\widehat {HMK} = 90^\circ \)

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 12

=============