Giải SBT bài 2 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, bất đẳng thức tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều

GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 2 Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, bất đẳng thức tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều

================

Giải bài 12 trang 70 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

– Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính số dô các góc.

– Áp dụng mỗi quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chưng minh AD < BD

Lời giải chi tiết

a) Từ \(\hat A = 3\hat B = 6\hat C\) suy ra: \(\frac{{\hat A}}{6} = \frac{{\hat B}}{2} = \frac{{\hat C}}{1}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{\hat A}}{6} = \frac{{\hat B}}{2} = \frac{{\hat C}}{1} = \frac{{\hat A + \hat B + \hat C}}{{6 + 2 + 1}} = \frac{{180^\circ }}{9} = 20^\circ \)

Suy ra

• \(\hat A = 20^\circ .6 = 120^\circ ;\)

• \(\hat B = 20^\circ .2 = 40^\circ ;\)

• \(\hat C = 20^\circ .1 = 20^\circ .\)

Vậy trong tam giác ABC, số đo góc lớn nhất là \(\widehat {{A^{}}} = 120^\circ \), số đo góc bé nhất là \(\hat C = 20^\circ \)

b) Xét ∆ABD vuông tại D ta có:

\({\hat A_1} + \hat B = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà \(\hat B = 40^\circ \) (câu a)

Suy ra \({\hat A_1} = 90^\circ  – \hat B = 90^\circ  – 40^\circ  = 50^\circ \).

Trong ∆ADB có: \({\hat A_1} > \hat B\) (do 50° > 40°).

Suy ra BD > AD (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AD < BD. 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 13 trang 70 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện để chứng minh BA < BD < BE < BC.

Lời giải chi tiết

• Xét tam giác ABD có \(\widehat {{A^{}}}\) là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

•Vì \(\widehat {B{\rm{D}}E}\) là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D \(\widehat {BDE} = \hat A + \widehat {ABD}\).

Mà \(\widehat {{A^{}}}\) là góc tù.

Do đó \(\widehat {B{\rm{D}}E}\) là góc tù.

Xét tam giác EBD có \(\widehat {B{\rm{D}}E}\) là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

•Vì \(\widehat {BEC}\) là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên \(\widehat {BEC} = \hat A + \widehat {ABE}\)

 Mà \(\widehat {{A^{}}}\)là góc tù.

Do đó \(\widehat {BEC}\) là góc tù.

Xét tam giác EBC có \(\widehat {BEC}\) là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 14 trang 70 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

– Áp dụng bất đằng thức tam giác để tìm độ dài cạnh AC.

– Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong đọ dài ba cạnh tam giác MNP để tìm độ dài cạnh lớn nhất của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ABC ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay 15 – 8 < AC < 15 + 8

Suy ra 7 < AC < 23.

Độ dài cạnh AC là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4 tức là AC > 4² = 16 và AC là số nguyên tố.

Do đó AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

Vậy AC = 17 cm hoặc AC = 19 cm.

b) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác MNP là m, n, p với\(0{\rm{ }} < {\rm{ }}m{\rm{ }} \le {\rm{ }}n{\rm{ }} \le {\rm{ }}p.\)

Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4 nên ta có:

\(\frac{m}{2} = \frac{n}{3} = \frac{p}{4}\)

Mặt khác tổng độ dài hai cạnh là 20 cm nên \(m{\rm{ }} + {\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}20{\rm{ }}\left( {cm} \right).\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{m}{2} = \frac{n}{3} = \frac{p}{4} = \frac{{m + n}}{{2 + 3}} = \frac{{20}}{5} = 4\)

Suy ra\({\rm{ }}p{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}16{\rm{ }}\left( {cm} \right).\)

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác MNP là 16 cm.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 15 trang 71 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện và tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {ADB} < \widehat {ADC}\) 

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra \(\hat C < \hat B\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên \({\widehat {{A^{}}}_1} = {\widehat {{A^{}}}_2}\)

 Xét ∆ABD có: \({\widehat {{A^{}}}_1} + \widehat B + \widehat {ADB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 180^\circ  – \widehat {{A_1}^{}} – \widehat B\) (1)

Xét ∆ACD có: \(\widehat {{A_2}^{}} + \widehat C + \widehat {A{\rm{D}}C} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \(\widehat {A{\rm{D}}C} = {180^o} – \widehat {{A_2}^{}} – \widehat C\) (2)

Mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (chứng minh trên) và \(\widehat B > \widehat C\) (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(\widehat {A{\rm{D}}B} < \widehat {A{\rm{D}}C}\)

Vậy \(\widehat {A{\rm{D}}B} < \widehat {A{\rm{D}}C}\)

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 16 trang 71 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

– Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ACE để chúng minh

 AE < CE.

– Áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BEC để chứng minh

EC < BC < BE. 

Lời giải chi tiết

•Xét ∆ACB có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BAC} = 110^\circ ,\)\(\widehat B = \widehat {ACB}\) (giả thiết)

Suy ra \(\hat B = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  – \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  – 110^\circ }}{2} = 35^\circ \)

 •Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CAE} = 180^\circ  – \widehat {BAC} = 180^\circ  – 110^\circ  = 70^\circ \) .

• Do AD // EC (giả thiết) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ECD} = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra \(\widehat {ECD} = {180^o} – \widehat {ADC} = {180^o} – {105^o} = {75^o}.\)

 Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = \widehat {ECD}\) (hai góc kề nhau)

Do đó \(\widehat {ACE} = \widehat {ECD} – \widehat {ACB} = 75^\circ  – {35^o} = 40^\circ .\)

 • Trong ∆ACE có: \(\widehat {ACE} < \widehat {CAE}\) (do 40° < 70°)

Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy AE < CE.

b) Xét ∆EBC có: \(\hat E + \widehat {BCE} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \(\widehat {BCE} = 75^\circ ,\hat B = 35^\circ \)

Suy ra  \(\hat E = 180^\circ  – \hat B – \widehat {BCE} = 180^\circ  – 35^\circ  – 75^\circ  = 70^\circ \)

Trong tam giác BCE có: \(\hat B < \hat E < \widehat {BCE}\) (do 35° < 70° < 75°).

Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Vậy EC < BC < BE.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 17 trang 71 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC để chứng minh \(A{\rm{D}} < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Xét ∆ABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆ACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB +AC +BC

Suy ra: \(A{\rm{D}} < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)

Mà\(\frac{{AB + AC + BC}}{2}\)  là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

Giải bài 18 trang 71 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c với \(a \ge b \ge c\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh \(\frac{{a + b + c}}{3} \le a \le \frac{{a + b + c}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay \(a < \frac{{a + b + c}}{2}\) (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó \(a \ge \frac{{a + b + c}}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{a + b + c}}{3} \le a \le \frac{{a + b + c}}{2}\)

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{3}\) chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó. 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 2

=============