GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 11 Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều
================
Giải bài 79 trang 92 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC (AB < AC). Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm E nằm trong tam giác ABC sao cho E cách đều hai cạnh AB, BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Điểm E không nằm trên tia phân giác của góc B.
b) \(\widehat {EBC} = \widehat {ECB}\).
c) Điểm E cách đều AB, BC, CA.
d) Điểm E nằm trên tia phân giác của góc C.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chấ ba đường phân giác của tam giác và chứng minh hai tam giác bằng nhau để xác định được các phát biểu đúng sai.
Lời giải chi tiết
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của E trên BC, AB, AC.
Khi đó EM ⊥ BC, EN ⊥ AB, EP ⊥ AC và EN = EM.
• Xét ∆BNE và ∆BME có:
\(\widehat {{\rm{BNE}}} = \widehat {BME}\left( { = 90^\circ } \right)\)
EN = EM (giả thiết),
BE là cạnh chung
Do đó ∆BNE = ∆BME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{\rm{NBE}}} = \widehat {MBE}\) (hai góc tương ứng)
Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ABC.
Do đó phát biểu a là sai.
•Vì AF là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{\rm{BAE}}} = \widehat {CAE}\)
Xét DANE và DAPE có:
\(\widehat {{\rm{ANE}}} = \widehat {APE}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AE là cạnh chung,
\(\widehat {{\rm{NAE}}} = \widehat {PAE}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆ANE = ∆APE (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra EN = EP (hai cạnh tương ứng).
Mà EN = EM (giả thiết)
Nên EM = EN = EP hay điểm E cách đều ba cạnh AB, BC, CA.
Do đó phát biểu c là đúng.
• Xét hai ∆CPE và ∆CME có:
\(\widehat {CPE} = \widehat {CME}\left( { = 90^\circ } \right)\)
EP = EM (chứng mình trên),
CE là cạnh chung
Do đó ∆CPE = ∆CME (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{\rm{PCE}}} = \widehat {MCE}\) (hai góc tương ứng).
Nên điểm E nằm trên tia phân giác của góc ACB.
Do đó phát biểu d là đúng.
• Do AB < AC nên \(\widehat {ACB} < \widehat {ABC}\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).
Khi đó \(\widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} < \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \widehat {ECB}.\)
Do đó phát biểu b là sai.
Vậy a, b là phát biểu sai; c, d là phát biểu đúng.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
Giải bài 80 trang 92 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}\). Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
a) Số đo góc KAC bằng 30°.
b) Số đo góc BAK bằng 25°.
c) Số đo góc BKC bằng 120°.
d) Số đo góc BKC bằng 115°.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc để xác định các phát biểu đúng sai.
Lời giải chi tiết
• Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}\) nên \(3\widehat {BAC} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BAC} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ \)
Xét tam giác ABC có hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại K
Nên AK là tia phân giác của góc BAC.
Suy ra \(\widehat {KAB} = \widehat {KAC} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \)
Do đó phát biểu a là đúng, phát biểu b là sai.
•Vì BK là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {KBC} = \widehat {KBA} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
Vì CK là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {KCB} = \widehat {KCA} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Suy ra \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} + \frac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 2\widehat {BAC} = 2.60^\circ = 120^\circ \)
Do đó \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \)
Xét ∆KBC có \(\widehat {KBC} + \widehat {KCB} + \widehat {CKB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Nên \(\widehat {CKB} = 180^\circ – \left( {\widehat {KBC} + \widehat {KCB}} \right) = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \).
Do đó phát biểu c là đúng, phát biểu d là sai.
Vậy phát biểu sai là b và d.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
Giải bài 81 trang 92 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC;
b) KI là tia phân giác của góc EKD.
Phương pháp giải
– Chứng minh: giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
– Chứng minh: A, I, K thẳng hàng.
KA là đường phân giác của góc EKD.
Suy ra: KI là tia phân giác của góc EKD.
Lời giải chi tiết
a) Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác BD và CE cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
Suy ra I cách đều ba cạnh AB, BC, AC.
Vậy I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
b) • Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).
Vì CE là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACE} = \widehat {ECB} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại A).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \widehat {ACE} = \widehat {ECB}\)
• Xét ∆ABD và ∆ACE có:
\(\widehat {BAC}\) là góc chung,
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (chứng minh trên).
Do đó ∆ABD = ∆ACE (g.c.g).
Suy ra AD = AE (hai cạnh góc vuông).
• Xét ∆ABK và ∆ACK có:
AB = AC (chứng minh trên),
AK là cạnh chung,
BK = CK (do K là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABK = ∆ACK (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (hai góc tương ứng).
Hay \(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\).
• Xét ∆AEK và ∆ADK có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {EAK} = \widehat {DAK}\) (chứng minh trên),
AK là cạnh chung.
Do đó ∆AEK = ∆ADK (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {AKE} = \widehat {AKD}\) (hai góc tương ứng)
Nên KA là đường phân giác của góc EKD.
Mặt khác do \(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) nên AK là tia phân giác của góc BAC.
Mà theo câu a, I thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC
Nên AI cũng là đường phân giác của góc BAC.
Do vậy, ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Khi đó KI cũng là đường phân giác của góc EKD.
Vậy KI là tia phân giác của góc EKD.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
Giải bài 82 trang 92 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại C có ˆCAB=60°CAB^=60°, AE là tia phân giác của góc CAB (E ∈ BC). Gọi D là hình chiếu của B trên tia AE, K là hình chiếu của E trên AB. Chứng minh:
a) EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA;
b) EC = ED = EK.
Phương pháp giải
– Chứng mính: \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) suy ra EB là tía phân giác của góc DEK, \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) suy ra EK là tia phân giác của góc BEA.
– Chứng minh: ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra CE = KE và chứng minh ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra EK = ED. Từ đó suy ra EC = ED = EK.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat {CAB} + \widehat {CBA} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra \(\widehat {CBA} = 90^\circ – \widehat {CAB} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \).
Tam giác EBK vuông tại K có (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra \(\widehat {KEB} = 90^\circ – \widehat {KBE} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \).
•Vì AE là tia phân giác của góc CAB nên \(\widehat {CAE} = \widehat {BAE} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ \).
Tam giác ACE vuông tại C có \(\widehat {CEA} + \widehat {CAE} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).
Suy ra \(\widehat {CEA} = 90^\circ – \widehat {CAE} = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \)
Do đó \(\widehat {DEB} = \widehat {CEA} = 60^\circ \) (hai góc đối đỉnh).
Ta có \(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (cùng bằng 60°) nên EB là tia phân giác của góc DEK.
•Ta có \(\widehat {KEA} + \widehat {KED} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Hay \(\widehat {KEA} + \widehat {KEB} + \widehat {BED} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {KEA} = 180^\circ – \widehat {KEB} – \widehat {BED} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ \)
Do đó \(\widehat {KEA} = \widehat {KEB}\) (cùng bằng 60°).
Nên EK là tia phân giác của góc BEA.
Vậy EB là tia phân giác của góc DEK, EK là tia phân giác của góc BEA.
b) Xét ∆ACE và ∆AKE có:
\(\widehat {ACE} = \widehat {AKE}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AE là cạnh chung,
\(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆ACE = ∆AKE (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra CE = KE (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆EKB và ∆EDB có:
\(\widehat {EKB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BE là cạnh chung,
\(\widehat {KEB} = \widehat {DEB}\) (chứng minh câu a)
Do đó ∆EKB = ∆EDB (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra KE = DE (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có EC = EK = ED.
Vậy EC = ED = EK.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
Giải bài 83 trang 93 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho hai đường thẳng song song a, b và một đường thẳng c (c cắt a tại E, c cắt b tại F). Hai tia phân giác của các góc aEF và bFE cắt nhau tại I. Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của I trên các đường thẳng a và b (Hình 52).
Chứng minh:
a) Tam giác EIF là tam giác vuông;
b) IA = IB.
Phương pháp giải
– Chứng minh góc EIF bằng \({90^o}\) (sử dụng tính chất tia phân giác của một góc) từ đó suy ra tam giác EIF vuuong tại I.
– Chứng minh IA = IC và IC = IB nên IA = IB.
Lời giải chi tiết
a) Vì EI là tia phân giác của góc aEF nên \(\widehat {AEI} = \widehat {IEF} = \frac{1}{2}\widehat {AEF}\)
Vì FI là tia phân giác của góc bFE nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFE} = \frac{1}{2}\widehat {BFE}\).
Vì a // b nên \(\widehat {aEF} + \widehat {bFE} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Suy ra \(\widehat {IEF} + \widehat {IFE} = \frac{{\widehat {aEF} + \widehat {bFE}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).
Xét ∆IEF có \(\widehat {EIF} = 180^\circ – \left( {\widehat {{\rm{IEF}}} + \widehat {IFE}} \right) = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ .\)(tổng ba góc của một tam giác).
Suy ra
Vậy tam giác EIF là tam giác vuông tại I.
b) Gọi C là hình chiếu của I trên đường thẳng c.
Do EI là tia phân giác của góc AEF nên IA = IC (1)
Do FI là tia phân giác của góc EFB nên IC = IB (2)
Từ (1) và (2) ta có IA = IB.
Vậy IA = IB.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
Giải bài 84 trang 93 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.
a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\) nên GA là tia phân giác góc DGE.
Chứng minh: \(\widehat {BGM} = \widehat {CGM}\) nên GM là tia phân giác góc BGC.
Chứng minh: \(\widehat {AME} = \widehat {AMD}\) nên MA là tia phân giác góc EMD.
– Cho EG là tia phân giác của góc DEM chứng minh tam giác ABC đều (AB = AB = BC)
Lời giải chi tiết
a)• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\).
Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = \(\frac{1}{2}\) AC.
Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.
Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.
Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.
Xét ∆ABM và ∆ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
AM là cạnh chung,
MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng)
Xét ∆AEG và ∆ADG có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {EAG} = \widehat {DAG}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),
AG là cạnh chung
Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\) (hai góc tương ứng).
Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.
• Ta có \(\widehat {BGM} = \widehat {AGD},\widehat {CGM} = \widehat {AGE}\) các cặp góc đối đỉnh)
Mà \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\)
Nên \(\widehat {BGM} = \widehat {CGM}\)
Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.
• Xét ∆AME và ∆AMD có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),
AM là cạnh chung,
Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AME} = \widehat {AMD}\) (hai góc tương ứng)
Nên MA là tia phân giác của góc EMD.
Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) • Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {CAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ – \widehat {BAC}}}{2}\)
Ta có AE = AD (chứng minh câu a)
Nên tam giác AED cân tại A
Suy ra \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\)
Xét ∆ADE có \(\widehat {ADE} + \widehat {AE{\rm{D}}} + \widehat {DA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\) nên \(\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{180^\circ – \widehat {BAC}}}{2}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Do đó ED // BC.
Nên \(\widehat {DEC} = \widehat {ECM}\) (hai góc so le trong)
• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì \(\widehat {DEC} = \widehat {CEM}\)
Suy ra \(\widehat {ECM} = \widehat {CEM}\) nên tam giác MEC cân tại M.
Do đó ME = MC
Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.
Suy ra tam giác EMB cân tại M nên \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\).
• Xét ∆EBC có \(\widehat {BEC} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Hay \(\widehat {BEC} + \widehat {MCE} + \widehat {MBE} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\) và \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\)
Nên \(\widehat {BEC} + \widehat {MEC} + \widehat {MEB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BEC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \)
Suy ra \(2\widehat {BEC} = 180^\circ \)
Do đó \(\widehat {BEC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEC} = 90^\circ .\)
• Xét ∆BEC và ∆AEC có:
\(\widehat {BEC} = \widehat {AEC}\) (cùng bằng 90°),
EC là cạnh chung,
BE = AE (chứng minh câu a)
Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra BC = AC.
Mà AB = AC (chứng minh câu a).
Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 11
=============
Trả lời