GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 10 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều
================
Giải bài 70 trang 89 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) Tam giác GBC là tam giác cân;
c) AG vuông góc với BC.
Phương pháp giải
– Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến để chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ACN(c – g – c)\) suy ra BM = CN.
– Chứng minh: \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\) suy ra tam giác GBC cân tại G.
– Chứng minh: AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra: AG vuông góc với BC.
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).
Vì BM, CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Do đó AM = MC, AN = NB.
Mà AB = AC
Suy ra AM = MC = AN = NB.
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (chứng minh trên),
\(\widehat {BAC}\) là góc chung,
AM = AN (chứng minh trên)
Do đó ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).
Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Do ∆AMB = ∆ANC (câu a) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (hai góc tương ứng).
Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACN} + \widehat {NCB}\), .
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) và \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).
Nên \(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) hay \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\).
Suy ra tam giác GBC cân tại G.
Vậy tam giác GBC cân tại G
c) Ta có AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Theo câu b tam giác GBC cân tại G nên GB = GC (hai cạnh bên).
Do đó G nằm trên trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên AG vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Vậy AG vuông góc với BC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 71 trang 89 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MG lấy điểm D sao cho MD = MG.
a) Chứng minh CG là trung tuyến của tam giác ACD.
b) Chứng minh BG song song với CD.
c) Gọi I là trung điểm của BD; AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2FI.
Phương pháp giải
– Chứng minh GD = GA suy ra CG là trung tuyến của tam giác ACD.
– Chứng minh: \(\widehat {DGM} = \widehat {C{\rm{D}}M}\) suy ra BG // CD.
– Sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến của tam giác để chứng minh AF = 2FI
Lời giải chi tiết
a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\).
Mà MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD và \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\)
Suy ra GD = GA.
Do đó CG là trung tuyến của tam giác ACD.
Vậy CG là trung tuyến của tam giác ACD.
b) Xét ∆BGM và ∆CDM có:
GM = DM (giả thiết),
\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\) (hai góc đối đỉnh),
MB = MC (vì M là trung điểm của BC)
Nên ∆BGM = ∆CDM (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {BGM} = \widehat {CDM}\) (hai góc tương ứng).
Mà chúng ở vị trí so le trong nên BG // CD.
Vậy BG // CD.
c) Trong tam giác ABD có AI và BG là hai đường trung tuyến, AI và BG cắt nhau tại F.
Do đó F là trọng tâm của tam giác ABD.
Suy ra FI = 1212FA hay AF = 2FI.
Vậy AF = 2FI.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 72 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Chứng minh: Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Phương pháp giải
Giả sử tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN bằng nhau chứng minh tam giác ABC cân tại A.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau.
Gọi G là giao điểm của BM và CN.
Theo tính chất trọng tâm tam giác có: \(BG = \frac{2}{3}BM\)và \(CG = \frac{2}{3}CN\).
Vì BM = CN nên BG = CG.
Suy ra tam giác BGC cân tại G.
Do đó \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\) (hai góc ở đáy).
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
BC là cạnh chung,
\(\widehat {MBC} = \widehat {NCB}\) (do \(\widehat {GBC} = \widehat {GCB}\))
MB = NC (giả thiết)
Do đó ∆MBC = ∆NCB (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\) (hai góc tương ứng).
Khi đó tam giác ABC cân tại A.
Vậy nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 73 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.
a) Chứng minh GA = GB = GC.
b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta CBN\) suy ra AM = CN
– Sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến để chứng minh: GA = Gb = GC.
– Chứng minh: GD = GB = DB suy ra tam giác BBGD là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.
Khi đó \(AN = NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM = MC\)
Xét ∆ABM và ∆CBN có:
AB = BC (giả thiết),
\(\widehat {ABC}\) là góc chung,
BM = BN (chứng minh trên)
Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).
• Vì G là trọng tâm tam giác ABC
Nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\) (tính chất trọng tâm của tam giác).
Mà AM = CN.
Suy ra GA = GC.
Chứng minh tương tự ta có GA = GB.
Do đó GA = GB = GC.
Vậy GA = GB = GC.
b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).
Nên GD = GB (1)
Ta có G là trọng tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\)
Mà GA = GD nên \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).
Do đó\(GM = M{\rm{D}} = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).
Xét ∆GMC và ∆DMB có:
MB = MC (chứng minh câu a),
\(\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh),
MG = MD (chứng minh trên).
Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)
Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).
Lại có GC = GB (theo câu a)
Nên GB = DB (2)
Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.
Do đó tam giác BGD là tam giác đều.
Vậy tam giác BGD là tam giác đều
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 74 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh BI = IK = KE.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để chứng minh: \(BI = IK = EK = \frac{1}{3}BE\)
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABC có BD và AM là các đường trung tuyến, BD cắt AM tại I.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác ABC.
Nên \(BI = \frac{2}{3}B{\rm{D}}\)(1)
Xét tam giác AEC có ED và AN là các đường trung tuyến, ED cắt AN tại K.
Suy ra K là trọng tâm của tam giác AEC.
Nên \(EK = \frac{2}{3}E{\rm{D}}\)(2)
Mặt khác BD = DE, DB + DE = BE
Nên \(B{\rm{D}} = DE = \frac{1}{3}BE\)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(BI = EK = \frac{2}{3}B{\rm{D}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BE = \frac{1}{3}BE\).
Ta lại có: BI + IK + KE = BE.
Suy ra \(\frac{1}{3}BE + IK + \frac{1}{3}BE = BE\)
Suy ra \(IK = \frac{1}{3}BE\)
Do đó BI = IK = EK (cùng bằng \(\frac{1}{3}BE\)).
Vậy BI = IK = EK.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 75 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
Phương pháp giải
– Chứng minh hai tam giác AMD và AMC cân tại M.
– Tổng ba góc của một tam giác bằng \({180^o}\).
Từ đó chứng minh \(\widehat {BAC} = {90^o}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC\), BM = MC nên AM = BM = MC.
Suy ra hai tam giác AMB và AMC cân tại M.
Do đó \(\hat B = {\hat A_1},\hat C = {\hat A_2}\)
Xét DABC có \(\hat B + \hat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \({\hat A_1} + {\hat A_2} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \)
Nên 2ˆBAC=180°2BAC^=180°
Do đó \(\widehat {BAC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Vậy \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 76 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(A{\rm{E}} = \frac{1}{3}AC\).
a) Chứng minh E là trọng tâm tam giác BCD.
b) Gọi M là trung điểm DC. Chứng minh ba điểm B, M, E thẳng hàng.
Phương pháp giải
Trong tam giác ABC, đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(A{\rm{E}} = \frac{1}{3}AC\) nên \(CE = \frac{2}{3}AC\)
Trong tam giác BCD có CA là trung tuyến và \(CE = \frac{2}{3}AC\).
Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD.
Vậy E là trọng tâm tam giác BCD.
b) Trong tam giác BCD có CA và BM là hai đường trung tuyến nên BM cắt CA tại trọng tâm của tam giác.
Mà E là trọng tâm của tam giác BCD (theo câu a) nên điểm E thuộc đường thẳng BM.
Hay ba điểm B, E, M thẳng hàng.
Vậy ba điểm B, E, M thẳng hàng.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 77 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DG.
a) Chứng minh BG = GC = CE = BE.
b) Chứng minh ∆ABE = ∆ACE.
c) Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)thì tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Phương pháp giải
– Chứng minh: GB = GC, EB = EC, BG = BE suy ra BG = GC = BE = CE.
– Chứng minh: \(\Delta ABE = \Delta AC{\rm{E}}(c – c – c)\)
– Nếu \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\) thì chứng minh: tam giác ABC cân có \(\widehat {ACB} = {60^o}\) nên tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).
Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
DB = DC (do D là trung điểm của BC),
AD là cạnh chung
Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Suy ra AD vuông góc với BC.
Mặt khác D là trung điểm của BC
Do đó AD là đường trưng trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra GB = GC (1)
Lại có điểm E nằm trên đường thẳng AD nên E cũng nằm trên đường trung trực của BC.
Do đó EB = EC (2)
Xét ∆BGD và ∆BED có:
\(\widehat {BDG} = \widehat {BDE}\left( { = 90^\circ } \right)\),
BG là cạnh chung,
DG = DE (giả thiết)
Do đó ∆BGD = ∆BED (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BG = BE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BG = GC = CE = BE.
Vậy BG = GC = CE = BE.
b) Xét ∆ABE và ∆ACE có:
AB = AC (do ∆ABC cân tại A),
BE = CE (chứng minh câu a),
AE là cạnh chung
Do đó ∆ABE = ∆ACE (c.c.c).
Vậy ∆ABE = ∆ACE.
c) Ta có GD = ED (giả thiết) nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}GE\)
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(G{\rm{D}} = \frac{1}{2}AG\).
Do đó AG = GE hay G là trung điểm của AE nên \(GE = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\).
Mặt khác \(CG = \frac{1}{2}A{\rm{E}}\)
Suy ra GE = GC.
Theo câu a ta lại có GC = EC.
Khi đó GC = GE = EC.
+) Tam giác CGE có GC = GE = EB nên tam giác CGE là tam giác đều
Do đó \(\widehat {CGE} = 60^\circ \)
Suy ra:
• \(\widehat {CGD} + \widehat {GCD} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông CGD bằng 90°)
Suy ra \(\widehat {GCD} = 90^\circ – \widehat {CGD} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \)
• \(\widehat {CGE} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Nên \(\widehat {AGC} = {180^o} – \widehat {CGE} = {180^o} – {60^o} = {120^o}\)
Mà GA = GC nên tam giác AGC cân tại G, do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA}\)
Lại có \(\widehat {GAC} + \widehat {GCA} + \widehat {AGC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác AGC).
Do đó \(\widehat {GAC} = \widehat {GCA} = \frac{{180^\circ – \widehat {AGC}}}{2} = \frac{{180^\circ – 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)
+) Ta có \(\widehat {ACB} = \widehat {ACG} + \widehat {GCB}\) (hai góc kề nhau)
Hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \)
Tam giác cân ABC có \(\widehat {ACB} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 78 trang 90 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME.
a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN là tam giác cân.
b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA.
c) Chứng minh tam giác DNA là tam giác vuông.
d) Kẻ EB vuông góc với NA (B ∈ NA). Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.
Phương pháp giải
– Chứng minh: tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.
– Chứng minh: NEA có AM là trung tuyến và \({\rm{AF}} = \frac{2}{3}AM\) nên F là trọng tâm của tam giác NEA.
– Chứng minh: EF vuông góc NA; EB vuông góc với NA suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆DME và ∆FMN có:
DM = FM (vì M là trung điểm của DF),
\(\widehat {DME} = \widehat {FMN}\) (hai góc đối đỉnh),
ME = MN (giả thiết)
Do đó ∆DME = ∆FMN (c.g.c)
Suy ra DE = FN (hai cạnh tương ứng).
Vì tam giác DFE cân tại D nên DE = DF.
Do đó DE = DF = FN.
Tam giác DFN có DF = FN nên tam giác DFN cân tại F.
Vậy tam giác DFN cân tại F.
b) Ta có \(M{\rm{D}} = MF = \frac{1}{2}DF\)và FA = FD nên \(MF = \frac{1}{2}F{\rm{A}}\)
Mà AF + FM = AM nên AF + 1212AF = AM
Suy ra \(\frac{2}{3}AF = AM\) hay \(AF = \frac{2}{3}AM\).
Trong tam giác NEA có AM là trung tuyến và \(AF = \frac{2}{3}AM\) nên F là trọng tâm của tam giác NEA.
Vậy F là trọng tâm của tam giác NEA.
c) • Ta có: DF = FN, DF = FA nên AF = FN.
Suy ra tam giác FNA cân tại F.
Do đó \(\widehat {F{\rm{A}}N} = \widehat {FNA}\) (hai góc ở đáy)
•Vì tam giác DFN cân tại F nên \(\widehat {FDN} = \widehat {FND}\) (hai góc ở đáy)
• Xét ∆DNA có \(\widehat {A{\rm{D}}N} + \widehat {DNA} + \widehat {NAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat {FND} + \widehat {DNA} + \widehat {FNA} = 180^\circ \)
Hay \(\left( {\widehat {FND} + \widehat {FNA}} \right) + \widehat {DNA} = \widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ \)
Suy ra \(2\widehat {DNA} = 180^\circ \)
Do đó \(\widehat {DNA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)
Vậy tam giác DNA là tam giác vuông tại N.
d) Xét ∆DMN và ∆FME có:
DM = FM (vì M là trung điểm của DF),
\(\widehat {DMN} = \widehat {FME}\) (hai góc đối đỉnh),
EM = MN (giả thiết)
Do đó ∆DMN = ∆FME (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {MDN} = \widehat {MFE}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Nên EF // DN
Lại có \(\widehat {DNA} = 90^\circ \) (chứng minh câu c) hay DN ⊥ NA.
Suy ra EF ⊥ NA (một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại).
Mặt khác EB ⊥ NA (giả thiết)
Suy ra ba điểm E, F, B cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy ba điểm E, F, B thẳng hàng.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
=============
Để lại một bình luận