GIẢI CHI TIẾT Giải SBT bài 9 Đường trung trực của một đoạn thẳng – Chương 7 SBT Toán 7 Cánh diều
================
Giải bài 60 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Xác định điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho M cách đều A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác nhọn ABC;
b) Tam giác ABC có góc B là góc tù;
c) Tam giác ABC vuông tại B.
Phương pháp giải
Xét từng trường hợp của tam giác với điểm M nằm trên đường trung trực d của AB.
Lời giải chi tiết
Vì M cách đều A và B nên M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Như vậy M nằm trên đường thẳng BC và M nằm trên đường trung trực d của AB.
a) Tam giác ABC nhọn thì điểm M thuộc tia BC (hình vẽ):
b) Tam giác ABC có góc B là góc tù thì M thuộc tia đối của tia BC (hình vẽ):
c) Tam giác ABC vuông tại B thì d // BC nên không tìm được M (hình vẽ):
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 61 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Một con đường liên xã cách không xa hai địa điểm dân cư và hai địa điểm này nằm ở cùng một phía của con đường. Hãy xác định một địa điểm trên con đường đó để xây dựng nhà văn hóa xã sao cho nhà văn hóa đó cách đều hai địa điểm dân cư.
Phương pháp giải
Đưa bài toán: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm trên cùng phái đối với d. Tìm một số điểm C trên d sao cho C cách đều A và B.
Lời giải chi tiết
Đưa về bài toán: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với d. Tìm một điểm C trên d sao cho C cách đều A và B.
+) Trường hợp 1: Khi AB không vuông góc với d, vẽ trung trực a của đoạn thẳng AB. Giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d chính là điểm C cần tìm.
Vì C nằm trên đường trung trực a của đoạn thẳng AB nên theo tính chất đường trung trực ta có C cách đều A và B (CA = CB).
+) Trường hợp 2: Khi AB ⊥ d thì a // d, do đó không có một điểm nào nằm trên d lại cách đều A và B.
Vậy địa điểm để xây dựng nhà văn hóa là điểm nằm trên con đường và trung trực của đoạn đường giữa hai điểm dân cư.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 62 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát Hình 44, biết ∆MAB = ∆NAB. Chứng minh đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Phương pháp giải
A và B cùng cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN
Lời giải chi tiết
Vì ∆MAB = ∆NAB (giả thiết)
Suy ra AM = AN, BM = BN (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó A và B cùng cách đều hai điểm M, N.
Suy ra A và B cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Hay đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Vậy đường thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 63 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có AB < AC. Đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M. Chứng minh AM + BM = AC.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất đường trung trực để chứng minh AM + BM = AC
Lời giải chi tiết
Vì M thuộc đường trung trực của BC (giả thiết)
Nên BM = CM (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)
Ta có: AM + BM = AM + CM = AC.
Vậy AM + BM = AC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 64 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\hat C = 30^\circ \). Đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh:
a) BM là tia phân giác của góc ABC;
b) MA < MC.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) suy ra BM là tia phân giác của góc ABC
– Chứng minh: MA < MB và MA = MC suy ra MA < MC
Lời giải chi tiết
a) Vì DABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \hat C = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Suy ra \(\widehat {ABC} = 90^\circ – \hat C = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \)
Vì điểm M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC.
Do đó tam giác MBC cân ở M.
Suy ra \({\hat B_1} = \hat C = 30^\circ \)
Mặt khác \({\hat B_1} + {\hat B_2} = \widehat {ABC} = 60^\circ \) (hai góc kề nhau)
Nên \({\hat B_2} = \widehat {ABC} – {\hat B_1} = 60^\circ – 30^\circ = 30^\circ \)
Suy ra \({\hat B_2} = {\hat B_1}\)
Do đó BM là tia phân giác của góc ABC.
Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.
b) Trong tam giác vuông ABM có MA < MB (trong tam giác vuông, cạnh huyển là cạnh lớn nhất).
Mà MB = MC (chứng minh câu a).
Suy ra MA < MC.
Vậy MA < MC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 65 trang 87 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát Hình 45, biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Phương pháp giải
Chứng minh ba điểm A, M, D cùng nằm trên đường trung trực của đường thẳng BC.
Lời giải chi tiết
Vì DB = DC (giả thiết) nên điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Mà AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC (giả thiết).
Do đó ba điểm A, M, D cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Hay ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Vậy ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 66 trang 88 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:
a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;
b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
Phương pháp giải
– Sử dụng tam giác Abc cân tại A suy ra AM là đường trung trực của BC.
– Chứng minh: A, M thuộc đường trung trực của EF.
Suy ra ME = MF bà AM là đường trung trực của đường thẳng EF.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).
Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.
Lại có M là trung điểm của BC.
Nên AM là đường trung trực của BC.
Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\hat B = \hat C\) (hai góc ở đáy).
Xét ∆EBM và ∆FCM có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BM = CM (do M là trung điểm của BC),
\(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên)
Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)
Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.
Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.
Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.
Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 67 trang 88 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt cạnh AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC.
Phương pháp giải
Sử dụng tia phân giác của một góc và tổng ba góc của một tam giác để tìm số đo của các góc trong tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
Đường trung trực của AC cắt AB tại D nên DA = DC.
Do đó tam giác ADC cân tại D.
Suy ra \(\hat A = {\hat C_1}\)
Vì CD là tia phân giác của góc C nên \({\hat C_1} = {\hat C_2} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Suy ra \(\hat A = {\hat C_1} = {\hat C_2} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\)
Hay \(\widehat {ACB} = 2\hat A\)
Vì tam giác cân ABC nên \(\hat B = \widehat {ACB}\) (hai góc ở đáy).
Do đó \(\hat B = \widehat {ACB} = 2\hat A.\)
Mà \(\hat A + \hat B + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác ABC).
Suy ra \(\hat A + 2\hat A + 2\hat A = 180^\circ \)ˆA+2ˆA+2ˆA=180° hay \(5\hat A = 180^\circ \)
Nên \(\hat A = 36^\circ \)
Khi đó \(\hat B = \widehat {ACB} = 2.36^\circ = 72^\circ \)
Vậy ∆ABC có \(\hat B = \hat C = 72^\circ ,\hat A = 36^\circ .\)
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 68 trang 88 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho góc xOy khác góc bẹt. Oz là tia phân giác của góc đó, M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C. Qua M vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:
a) OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;
b) Tam giác DMC là tam giác cân.
Phương pháp giải
– Chứng minh: O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC.
Suy ra: OM là đường trung trực của AB.
– Chứng minh: \(\Delta A{\rm{D}}M = \Delta BCM\) nên MD = MC
Suy ra tam giác DMC cân tại M.
Lời giải chi tiết
a) Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat {xOz} = \widehat {zOy}\)
Xét ∆OAM và ∆OBM có
\(\widehat {OAM} = \widehat {OBM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
OM là cạnh chung,
\(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) (do \(\widehat {xOz} = \widehat {zOy}\))
Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra OA = OB và MA = MB (các cặp cạnh tương ứng).
Nên O và M cùng nằm trên đường trung trực của AB.
Vậy OM là đường trung trực của AB.
b) Xét ∆ADM và ∆BCM có
\(\widehat {DAM} = \widehat {CBM}\left( { = 90^\circ } \right)\),
AM = BM (chứng minh câu a),
\(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆ADM = ∆BCM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MD = MC (hai cạnh tương ứng).
Do đó tam giác CDM cân tại M.
Vậy tam giác DMC cân tại M.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
Giải bài 69 trang 88 SBT Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho góc xOy nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường trung trực của đoạn thẳng OA và đường trung trực của đoạn thẳng OB cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) OI là tia phân giác của góc xOy;
b) OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải
– Chứng minh: \(\Delta OI{\rm{A}} = \Delta OIB\) nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) suy ra OI là tia phân giác của góc xOy.
– Chứng minh I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Suy ra: OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Lời giải chi tiết
Gọi D và F lần lượt là trung điểm của OA và OB.
a) Ta có:
DI là đường trung trực của OA nên IO = IA.
FI là đường trung trực của OB nên IO = IB.
Suy ra IO = IA = IB
Xét ∆OIA và ∆OIB có:
OA = OB (giả thiết),
OI là cạnh chung,
IA = IB (chứng minh trên)
Do đó ∆OIA = ∆OIB (c.c.c).
Suy ra \({\hat O_1} = {\hat O_2}\) (hai góc tương ứng).
Do đó OI là tia phân giác của góc xOy.
Vậy OI là tia phân giác của góc xOy.
b) Theo giả thiết OA = OB suy ra O cách đều A và B.
Do đó O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Theo chứng minh ở câu a: IA = IB suy ra I cách đều A và B.
Do đó I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vậy OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9
=============
Trả lời