Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số: $y = x + {e^{ – x}}$ Tính diện tích hình phẳng giớ hạn bởi ($C$) , đường tiệm cận xiên và các đường thẳng $x = 0,\,\,x = 1$
Lời giải
Tập xác định $R$.
${y^ / } = 1 – {e^{ – x}}$ điểm cực tiểu $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{y_{CT}} = 1
\end{array} \right.$
${y^{ / / }} = {e^{ – x}} > 0$ hàm số lõm trên $R$
$\mathop {\lim \,}\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim \,}\limits_{x
\to – \infty } \left( {x + {e^{ – x}}} \right) = \mathop {\lim \,}\limits_{x \to + \infty } x\left( {1 –
\frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^{ – x}}}}} \right) = \left( { – \infty } \right)\left( { – \infty } \right) = +
\infty $
$\mathop {\lim \,}\limits_{x \to + \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim \,}\limits_{x
\to + \infty } {e^{ – x}} = 0\,\,\,\, \Rightarrow $ đường thẳng $y = x$là đường tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
Diện tích: $S = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {x + {e^{ – x}}} \right) – x} \right]} dx =
\int\limits_0^1 {{e^{ – x}}dx} $
$S = – \left. {{e^{ – x}}} \right]_0^1 = 1 – \frac{1}{e}\,\,\,\,$đvtt
Trả lời