Đề bài: Cho hàm số$y=\frac{ 1}{4}x^{3} -\frac{ 3}{2}x^{2}+5$a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.b) Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{3}-6 x^{2} +m=0$ có ba nghiệm thực phân biệt.
Lời giải
$y= \frac{ 1}{4}x^{3}- \frac{ 3}{2} x^{2} +5$
a)
• Tập xác định: D= R
• Sự biến thiên: $y’= \frac{ 4}{3} x^{2} -3x =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=4 \end{array} \right. $
$y’’= \frac{ 3x}{2}-3 =0$ và đổi dấu khi $x=2$. Điểm uốn $U(2;1)$
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng, cắt trục Oy tại $(0;5)$
b) $x^{3}=6 x^{2} +m=0$
$\Leftrightarrow x^{3}- 6 x^{2} = -m$
$\Leftrightarrow \frac{ 1}{4} x^{3} – \frac{ 3}{2}x^{2}=- \frac{ m}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{ 1}{4}x^{3}- \frac{ 3}{2}x^{2}+5=- \frac{ m}{4}+5(*)$
$(*)$ cho biết: Số giao điểm của đồ thị vừa vẽ và đường thẳng $y=- \frac{ m}{4}+5 (// Ox)$ là số nghiệm của phương trình.
Yêu cầu bài toán cần ba nghiệm thực phân biệt
$\Leftrightarrow -3
Trả lời