Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{ax^{2}+(2a+1)x+a+3}{x+2}$ $(1)$với \(a \ne – 1\)$1$. Chứng minh tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(1)$ luôn đi qua $1$ điểm cố định.$2$. Với giá trị nào của $a$ thì đồ thị của $(1)$ tiếp xúc với đường thẳng \(y = a + 4\).
Lời giải
$1$. Ta có:
\(y = f\left( x \right) = \frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + \left( {2a + 1} \right)x + a + 3}}{{x + 2}}\, = {\rm{ax}} + 1 + \frac{{a + 1}}{{x + 2}}\,\)
Nên \(y = {\rm{ax}} + 1\) là tiệm cận xiên.
Tiệm cận xiên này luôn đi qua điểm cố định $(0, 1)$
$2$. Đồ thị tiếp xúc với đường thẳng \(y = a + 4 \Leftrightarrow \) hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + \left( {2a + 1} \right)x + a + 3}}{{x + 2}} = a + 4\\
y’=\frac{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + 4ax + 3a – 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0
\end{array} \right. \left( H \right)\)
Ta có: \(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ax + 1 + \frac{{a + 1}}{{x + 2}} = a + 4\\
a – \frac{{\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{a + 1}}{{x + 2}} = – {\rm{ax}} + a + 3\\
\frac{{ – \left( {a + 1} \right)}}{{x + 2}} = – \left( {x + 2} \right)
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{x + 2}} = 3a + 3\\
a – \frac{{\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 2}} = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
a – \frac{{\left( {a + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(H)$ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) thỏa mãn $(2)$ \( \Leftrightarrow a – \left( {a + 1} \right).\frac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow a = – \frac{9}{5}\)
Trả lời