Đề bài: Cho hàm số \(y = {x^4} – 4{x^3} + m\,\,\left( C \right)\)$1$. Khảo sát hàm số với \(m = 3\)$2$. Giả sử đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt . Hãy xác định $m$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Giả sử đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\)cắt Ox tại 4 điểm có hoành độ \(a Khi đó đồ thị có dạng như hình vẽ:
Ở đó $A(0, m)$ và \(d > 0\) thỏa mãn phương trình \({d^4} – 4{d^2} + m = 0\) $(1)$
Bài toán đã cho tương đương với việc xác định m để cho tích phân: \(I = \int\limits_0^d {\left( {{x^4} – 4{x^2} + m} \right)dx} = 0\).
$I=\frac{1}{5}d^5-\frac{4}{3}d^3+md=0$
$\Rightarrow \frac{1}{5}d^4-\frac{4}{3}d^2+m$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra : \(m = \frac{{20}}{9}\)
Trả lời