Đề bài: Cho hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 1$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Tìm điều kiện đối với $a, b$ sao cho đường thẳng $y = ax + b$ cắt đồ thị trên tại 3 điểm khác nhau $A, B, C$ với $B$ là trung điểm của đoạn $AC$
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc
$2)$ Gọi ${x_1},{x_2},{x_3}$ là hoành độ của $A, B, C$; do $B$ là trung điểm của $AC$ nên ta có $2{x_2} = {x_1} + {x_3}$ ( với ${x_1} $\begin{array}{l}
{x^3} – 3x – 9x + 1 = {{ax}} + b\\
\Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} – (9 + a)x + 1 – b = 0{{ (1)}}
\end{array}$
Hàm số $y(x) = {x^3} – 3x – (9 + a)x + 1 – b$ cắt trục hoành tại $3$ điểm có hoành độ thỏa mãn $2{x_2} = {x_1} + {x_3}$ nên điểm uốn của đồ thị phải thuộc $Ox$, tức là ${x_2}$ là hoành độ điểm uốn. Ta có
$y’ = 3{x^2} – 6x – (9 + a),{{ y”}} = 6x – 6 = 6(x – 1)$
$ \Rightarrow {x_2} = 1 \Rightarrow y({x_2}) = 0 \Rightarrow a + b = – 10$
Thế $a = – (10 + b)$ vào $(1)$ ta có
${x^3} – 3{x^2} – (9 – 10 – b)x + 1 – b = 0$
$ \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + (1 + b)x + 1 – b = 0$ $(2)$
Do tổng các hệ số của $(2)$ bằng $0$ nên
$(2) \Leftrightarrow (x – 1)\left[ {{x^2} – 2x – 1 + b} \right] = 0$
Ký hiệu $g(x) = {x^2} – 2x – 1 + b$, để (2) có 3 nghiệm phân biệt thì $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt $ \ne – 1$.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta {‘_g} = 1 – (b – 1) > 0\\
g(1) = b – 2 \ne 0
\end{array} \right.{{ }} \Leftrightarrow {{b}} Vậy ta có điều kiện đối với $a, b$ là $\left\{ \begin{array}{l}
a + b = – 10\\
b \end{array} \right.$
Khi đó đường thẳng $y = {{ax}} + b$ trở thành $y = {{ax}} – (a + 10) = a(a – 1) – 10$
Và luôn đi qua điểm cố định $(1{{ , – 10)}}$
Trả lời