Đề bài: Cho hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 5$.1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.2) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.3) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y = kx$
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ Giả sử có 2 điểm $A({x_1},{y_1}),{\rm{ B}}({x_2},{y_2})$ nằm trên đồ thị sao cho hai tiếp tuyến tại $A, B$ vuông góc với nhau. Khi đó ta có $y'({x_1}).y'({x_2}) = – 1 \Leftrightarrow 9{({x_1} + 1)^2}{({x_2} + 1)^2} = – 1$: mâu thuẫn.
$3)$ Giả sử $M({x_o},{y_o})$ là điểm nằm trên đồ thị sao cho tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với đường thẳng.
$y = kx \Rightarrow y'({x_o}).k = – 1 \Rightarrow 3{({x_o} + 1)^2}k = – 1 \Rightarrow k
Trả lời