Đề bài: Cho hàm số \(y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 – {m^2}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) với $m$ là tham số$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi \(m = 2\)$2$. Tìm điều kiện của m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) chứa hai điểm phân biệt, đối xứng nhau qua điểm $O(0, 0)$
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. \(\left( {{C_m}} \right)\) chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua $O(0, 0)$ khi và chỉ khi hệ phương trình $2$ ẩn sau đây có hai nghiệm phân biệt:
\(\left\{ \begin{array}{l}
y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 – {m^2}\\
– y = {\left( { – x} \right)^3} – 3m{\left( { – x} \right)^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)\left( { – x} \right) + 1 – {m^2}
\end{array} \right.\)
Cộng hai phương trình lại để khử $y$ ta được: \(0 = 2\left( {- 3m{x^2} + 1 – {m^2}} \right)\)
Do đó hệ trên tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}
– 3m{x^2} + 1 – {m^2} = 0\,\, \left( 1 \right)\\
y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 – {m^2}
\end{array} \right.\)
Vì vậy hệ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left( {1 – {m^2}} \right).3m > 0 \Leftrightarrow m
Trả lời