Đề bài: Cho hàm số $y = f(x) = x^3 + ax + 2$ với $a$ là tham số.$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $a =-3.$$2$. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
Lời giải
$1$). Xin dành cho bạn đọc.
$2$). Hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm phương trình
$x^3{\rm{ + ax + 2 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{a =-}}{{\rm{x}}^2} – \frac{2}{x} (*)$
Để đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt ($Ox$) tại đúng $1$ điểm $\Leftrightarrow $ đường thẳng $y=a$ và đồ thị $y=g(x)=-x^2-\frac{2}{x}$ có một điểm chung duy nhất.
Ta có $g^/(x)=-2x+\frac{2}{x^2}=\frac{2(1-x^3)}{x^2}$
Bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị cần tìm là $a>-3$
Trả lời