Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\)$1$. Khảo sát hàm số đã cho$2$. Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x\), cắt đồ thị của hàm số đã cho tại các điểm $M, N$. tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.$3$. Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình sau \({x^2} – \left( {1 + m} \right)|x| – m – 1 = 0\)
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x\) có phương trình dạng \(y = \frac{1}{2}x + a\)
Xét phương trình \(\frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}x + a\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} – \left( {2a + 3} \right)x – 2\left( {a + 1} \right) = 0\)
Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right)\)có nghiệm
\( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2a + 3} \right)^2} + 8\left( {a + 1} \right) = 4{a^2} + 20a + 17 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a \le \frac{{ – 5 – 2\sqrt 2 }}{2} \\
a \ge \frac{{ – 5 + 2\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.(2).\)
Với điều kiện $(2)$ các giao điểm $M$ và $N$ có hoành độ là hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) của f(x), do đó theo định lý Viet, trung điểm $I$ của $MN$ có hoành độ \(x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{2a + 3}}{2}\). Vì vậy $I$ có tọa độ thỏa mãn\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a + 3}}{2}\\
y = \frac{1}{2}x + a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x – \frac{3}{2}\\
y = \frac{3}{2}x – \frac{3}{2}
\end{array} \right.\)
Điều kiện $(2)$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + \frac{3}{2} \le – 1 – \sqrt 2 \\
\frac{3}{2} \ge
a – 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le – 1 – \sqrt 2 \\
x \ge – 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. (*).\)
Vậy quỹ tích $I$ là đường thẳng có phương trình: \(y = \frac{3}{2}x – \frac{3}{2}\) với x thỏa mãn (*).
$3$. Đặt \(t = |x| \ge 0\) thì phương trình đã cho trở thành \({t^2} – \left( {1 + m} \right)t – m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} – t – 1}}{{t + 1}}\)
Do đó, dựa vào đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho ta có:
Nếu $m Nếu $m = -1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = a$
Nếu $m > -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Trả lời