Đề bài: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}$1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.2) Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tọa độ của điểm đó là các số nguyên.3) Tìm điểm $M$ thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ $M$ tới trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ $M$ tới trục tung
Lời giải
$1)$ Dành cho bạn đọc.
$2)$ $y = x + 2\frac{9}{{x + 3}} \Rightarrow y$ nguyên
$ \Rightarrow \frac{9}{{x + 3}}$ nguyên $ \Leftrightarrow x + 3 = \pm 1; \pm 3; \pm 9$.
Từ đó ta có các điểm nguyên của đồ thị: $(-12, -11), (-6, -7), (-4, -11), (-2, 9), (0, 5), (6, 9)$.
$3)$ Gọi $\left( {x,y} \right)$ là tọa độ của $M$, ta có: $\left| y \right| = 2\left| x \right|$ $(1)$
$y = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{x + 3}}$ $(2)$
Từ $(2)$ ta có: $\left| y \right| = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{\left| {x + 3} \right|}}$ $(3)$ (do ${x^2} + 5x + 15 > 0,\forall x$)
Thế $(1)$ vào $(3)$ ta được: $2\left| x \right| = \frac{{{x^2} + 5x + 15}}{{\left| {x + 3} \right|}} \Leftrightarrow 2\left| {{x^2} + 3x} \right| = {x^2} + 5x + 15$ $(4)$
a) $x \le – 3,x \ge 0$: $(4)$ trở thành
${x^2} + 5x – 15 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt {61} }}{2}$
$ \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{ – 1 – \sqrt {61} }}{2}, – 1 – \sqrt {61} } \right),{M_2}\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt {61} }}{2}, – 1 + \sqrt {61} } \right)$
b) $ – 3 \le x \le 0$: $(4)$ trở thành $3{x^2} + 11x + 15 = 0$: vô nghiệm
Trả lời