Đề bài: Cho hàm: $f(x) = – {x^4} + 2(m + 1){x^2} – 2m – 1$.a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 0$.b) Xác định tham số $m$ để $f(x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt tạo thành cấp số cộng
Lời giải
a) Dành cho bạn đọc.
b) Ta có: $f(x) = 0 \Leftrightarrow {x^4} – 2(m + 1){x^2} – 2m – 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} – (m + 1)} \right]^2} – {m^2} = 0$ (1)
Đặt $t = {x^2} \ge 0$, khi đó (1) trở thành: ${\left[ {t – (m + 1)} \right]^2} – {m^2} = 0$ $(2)$
$ \Leftrightarrow {t_{1,2}} = \pm m + (m + 1) \Leftrightarrow {t_1} = 1,{\rm{ }}{{\rm{t}}_2} = 2m + 1$.
Từ đó để $(1)$ có $4$ nghiệm khác nhau thì $(2)$ có $2$ nghiệm dương khác nhau $ \Leftrightarrow 1 \ne {t_2} = 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow 0 \ne m > – 1/2$.
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng của nghiệm ta xét hai trường hợp sau:
a) $2m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0$. Khi đó nghiệm của $(1)$ theo thứ tự sẽ là
$ – \sqrt {2m + 1} ,{\rm{ }} – 1,{\rm{ 1, }}\sqrt {2m + 1} \Rightarrow d = 1 – ( – 1) = 2$
Và $\sqrt {2m + 1} = 1 + d = 1 + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 4$
b) $0 $ – 1,{\rm{ }} – \sqrt {2m + 1} ,{\rm{ }}\sqrt {2m + 1} ,{\rm{ 1}} \Rightarrow d = \left[ {1 – ( – 1)} \right]/3 = 2/3$
Và $\sqrt {2m + 1} + d = \sqrt {2m + 1} + 2/3 = 1 \Leftrightarrow m = – 4/9$.
Đáp số : $m = 4,{\rm{ m}} = – 4/9$
Trả lời