Đề: Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng \(d\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 6 – 4t\\ y = – 2 – t\\ z = – 1 + 2t \end{array} \right.\).Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với d, d có vectơ chỉ phương là \(\vec{u_d}=(-4;-1;2)\)

\((P)\perp d\Rightarrow\) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}_{(P)} = – \overrightarrow {{u_d}} = (4;1; – 2)\)

vậy phương trình của (P) là \(4(x-1)+(y-1)-2(z-1)=0\) hay \(4x+y-2z-3=0\)

Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 6 – 4t\\ y = – 2 – t\\ z = – 1 + 2t\\ 4x + y – 2z – 3 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow 4(6 – 4t) + ( – 2 – t) – 2( – 1 + 2t) – 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\(\Rightarrow H(2;-3;1)\)