Đề: Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x – 2y + z + 6 = 0\) và điểm \(A\left( {2, – 1,0} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

\((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \((\alpha )\) ta có:

d có vectơ chỉ phương: \(\vec{u}_{d}=\vec{n}_{(\alpha )}=(3;-2;1)\) và đi qua A(2;-1;0)

\(\Rightarrow\) phương trình của \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = – 1 – 2t\\ z = t \end{array} \right.\)

Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = – 1 – 2t\\ z = t\\ 3x – 2y + z + 6 = 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow 3(2+3t)-2(-1-2t)+t+6=0 \Leftrightarrow t=1\)

\(\Rightarrow H( – 1;1; – 1)\)