Đề bài: Trong tất cả các hình nón ngoại tiếp hình trụ chiều cao $h$, bán kính $R$ hãy xác định hình nón có thể tích nhỏ nhất.

Lời giải

Giải
Đặt $x$ là độ dài bán kính đáy của hình nón ngoại tiếp hình trụ $(x>R)$ ta có thể tích hình nón là $V=\frac{\pi hx^3}{3(x-R)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
   $3\sqrt[3]{\frac{x-R}{x}.\frac{R}{2x}.\frac{R}{2x}} \leq \frac{x-R}{x}+\frac{R}{2x}+\frac{R}{2x}$
$\Leftrightarrow \frac{R^2(x-R)}{4x^3} \leq \frac{1}{27} \Leftrightarrow \frac{x^3}{x-R} \geq \frac{27R^2}{4}$
$\Leftrightarrow V=\frac{\pi hx^3}{3(x-R)} \geq \frac{9\pi h R^2}{4}$
  $V$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow V=\frac{9\pi hR^2}{4} \Leftrightarrow \frac{x-R}{x}=\frac{R}{2x} \Leftrightarrow x=\frac{3R}{2}$