Đề bài: Cho hình chóp lục giác đều $S.ABCDEF$ cạnh đáy bằng $a$, góc của mặt bên và đáy là $\alpha$. Tìm bán kính hình cầu ngoại tiếp, hình cầu nội tiếp hình chóp.

Lời giải

Gọi $H$ là tâm của đáy. Do $S.ABCDEF$ là chóp đều nên mọi điểm trên
đường cao $SH$ đều cách đều các đỉnh của đáy, cũng như cách đều $6$ mặt
bên. Do đó tâm $O$ của hình cầu ngoại tiếp và tâm $I$ hình cầu nội tiếp
của hình chóp đều nằm trên $SH$.

Tâm $O$ sẽ là giao điểm của đường trung trực của canh $SB$ với $SH$.
Bán kính $R$ của hình cầu ngoại tiếp xác định như sau:
$R=SO=\frac{SK}{\cos \widehat{KSO}}$,
Ở đây $K$ là trung điểm của $SB$.
Ta có: $R=\frac{SB}{2\cos \widehat{BSH}}=\frac{SB}{2\frac{SH}{SB}}=\frac{SB^2}{2SH}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $\widehat{SMH}=\alpha$.
Ta có: $HM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \alpha$
$\Rightarrow SB=\sqrt{SH^2+HB^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}\tan^2\alpha+a^2}=\frac{a}{2}\sqrt{4+3\tan^2\alpha}$.
Vậy $R=\frac{a^2(4+3\tan^2\alpha)}{4\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cot \alpha(4+3\tan^2\alpha)$.
Tâm $I$ của hình cầu nội tiếp là giao điểm của đường phân giác trong của  $\widehat{SMH}$ với $SH$.
Ta có: $IH=MH\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \frac{\alpha}{2}$.
Vậy bán kính $r$ của hình cầu nội tiếp xác định như sau:
$r=IH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan \frac{\alpha}{2}$.