Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $a$. Có một hình cầu đi qua $A$ và tiếp xúc với $SB,SD$ tại các trung điểm của chúng. Xác định tâm $O$ của hình cầu và tính bán kính của hình cầu ấy theo $a$.

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Vì hình cầu tiếp xúc với $SB$ tại trung điểm của $SB$ nên $OM \bot SB \Rightarrow O \in $ mặt phẳng trung trực của $SB$  .
Từ giả thiết suy ra $SAB,SBC$ đều là các tam giác đều cạnh $a$, nên $AM\bot SB, CM\bot SB$, vậy $(MAC)$ chính là mặt phẳng trung trực của $SB$.
Do đó $O\in (MAC). $ Tương tự nếu gọi $N$ là trung điểm của $SD$ thì $O\in (NAC)$.
Do đó : $O\in (MAC)\cap (NAC)\Rightarrow O\in AC$.
Trong mặt phẳng $(MAC)$ vẽ trung trực của $MA$, cắt $AC$ tại $O\Rightarrow OM=OA$.
Dễ thấy $\triangle MAO=\triangle NAO\Rightarrow OM=ON$.
Từ đó ta có $O$ chính là tâm của hình cầu cần tìm.

Gọi $R$ là bán kính hình cầu này thì $R=OA (1)$
Ta có: $OA=\frac{AK}{\cos \widehat{KAO}}=\frac{AK}{\cos\widehat{MAH}  }  (2)$
Ở đây $K,H$ lần lượt là trung điểm của $AM$ và tâm của đáy $ABCD$.
Từ $(1),(2)$ suy ra: $R=\frac{\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.