Đề bài: Cho hình tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau: $AB=CD, AC=BD; AD=BC$. Chứng minh rằng tâm hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp của tứ diện trùng nhau.

Lời giải

Gọi $O$ là tâm hình cầu ngoại tiếp hình tứ diện
Khi đó ta có: $OA=OB=OC=OD$.
Từ $O$ kẻ $OA_1,OB_1,OC_1,OD_1$ lần lượt vuông góc với các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC)$.

Do $OB=OC=OD\Rightarrow A_1B=A_1C=A_1D$.
Vậy $A_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ta giác $BCD$. Tương tự $B_1,C_1,D_1$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACD,ABD,ABC$.
Từ giả thiết suy ra $\Delta  ABC=\Delta  DCB$
$\Rightarrow $ các bán kính đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác này bằng nhau.
$\Rightarrow AD_1=A_1C$
$\Rightarrow $ tam giác vuông $AD_1O$ bằng tam giác vuông $CA_1O$$\Rightarrow OD_1=OA_1$. Tương tự có $OA_1=OB_1=OC_1=OD_1\Rightarrow O$ là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện $ABCD \Rightarrow $ đpcm