Đề bài: Gọi $O$ là tâm hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ với $OB=\frac{a\sqrt{3} }{3} $. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $O$ lấy điểm $S$ với $SB=a$a) Chứng minh rằng tam giác $SAC$ vuông và $SC\bot BD$b) Tính góc phẳng nhị diện cạnh $SA$ và tính khoảng cách giữa $SA$ và $BD$

Lời giải

a) Ta có: $OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3}   $
$SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3}   $
$OS=OA+OC\Rightarrow  \Delta SAC$ vuông tại $S$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BD\bot AC\\ BD\bot SO \end{array} \right. \Rightarrow  BD\bot (SAC)\Rightarrow  BD\bot SC$

b) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
– Gốc $O$ là tâm hình thoi
– Trục $Ox$ đi qua $OA$
– Trục $Oy$ đi qua $OB$
– Trục $Oz$ đi qua $OS$
Khi đó: $A(\frac{a\sqrt{6} }{3};0;0 ), B(0;\frac{a\sqrt{3} }{3};0 ),
s(0;0;\frac{a\sqrt{6} }{3} ), D(0;-\frac{a\sqrt{3} }{3};0 )$
Ta có $\overrightarrow{SA}=(\frac{a\sqrt{6} }{3};0;-\frac{a\sqrt{6}
}{3}  ), \overrightarrow{SB}=(0;\frac{a\sqrt{3} }{3};-\frac{a\sqrt{6}
}{3}  )  $
$\overrightarrow{SD}=(0;-\frac{a\sqrt{3} }{3};-\frac{a\sqrt{6} }{}3  ) $
Mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ có vecto pháp tuyến là:
$\overrightarrow{n}_1 =[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB} 
]=(\frac{a^2\sqrt{2} }{3};\frac{2a^2}{3};\frac{a^2\sqrt{2} }{3}  )$ hay
$(\sqrt{2};2;\sqrt{2}  )$
$\overrightarrow{n}_2 =[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SD} 
]=(-\frac{a^2\sqrt{2} }{3};\frac{2a^2}{3};-\frac{a^2\sqrt{2} }{3}  )$
hay $(-\sqrt{2};2;-\sqrt{2}  )$
Góc phẳng nhị diện cạnh $SA$ cho bởi $cos\alpha
=\frac{\overrightarrow{n}_1.\overrightarrow{n}_2 
}{|\overrightarrow{n}_1|.|\overrightarrow{n}_2  |} $
Vậy $\alpha =90^0$

Tính khoảng cách giữa $SA$ và $BD$:
Gọi $H$ là trung điểm của $SA$, ta có $OH\bot SA$ (vì $\Delta SOA$ vuông cân) và $OH\bot BD$ (vì $BD\bot (SOA)$)
$\Rightarrow  OH$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BD$
Ta có: $SA=OA\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{6} }{3}.\sqrt{2}=\frac{2a\sqrt{3}
}{3} \Rightarrow  OH=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{3} }{3}     $
vậy $d(SA,BD)=OH=\frac{a\sqrt{3} }{3} $