Đề bài: Cho lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$ và $N$ là trung điểm $A'D'$. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng $B'M$ và $C'N$.

Lời giải

 Đặt $\overrightarrow{A’B’}=\overrightarrow{i}; \overrightarrow{A’D’}=\overrightarrow{j }; \overrightarrow{A’A}=\overrightarrow{k}$, ta có
$\begin{cases}\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j }=0; \overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0;\overrightarrow{i}. \overrightarrow{k}=0  \\ \overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2 \end{cases} $
Ta lại có:
$\overrightarrow{B’M}=\overrightarrow{B’C’}+\overrightarrow{C’C}+ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{j }+ \overrightarrow{k}-\frac{1}{2}\overrightarrow{i}$
$\overrightarrow{C’N}=\overrightarrow{C’D’}+\overrightarrow{D’N}=-\overrightarrow{i}- \frac{1}{2}\overrightarrow{j}$, suy ra
$\overrightarrow{B’M}. \overrightarrow{C’N}=\left ( \overrightarrow{j }+ \overrightarrow{k}-\frac{1}{2}\overrightarrow{i} \right )\left ( -\overrightarrow{i}- \frac{1}{2}\overrightarrow{j} \right )=\frac{1}{2}\overrightarrow{i}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{j}^2=0$
$\Rightarrow \overrightarrow{B’M}. \overrightarrow{C’N}=0\Leftrightarrow B’M\bot C’N,$
do đó góc giữa  $B’M$ và $C’N$ là góc vuông.