Đề bài: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ ($AB$ không song song với $CD$) giao tuyến của $AC,BD$ là điểm $O,M$ là một điểm di chuyển trên cạnh $SD$.Mặt phẳng $(ABM)$ cắt cạnh $SC$ tại $N$$a.$ Chứng minh khi $M$ di chuyển trên $SD$ thì đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.$b.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AN,BM$.Chứng minh ba điểm $S,I,O$ thẳng hàng$c.$ Gọi $J$ là giao điểm của $AM,BN$.Chứng minh khi $M$ di chuyển trên $SD$ thì $J$ di chuyển trên một đường thẳng cố định

Lời giải

$a.$ Ta có :
$M\in (ABM)$
$M\in SD\Rightarrow  M\in (SCD)$
$\Rightarrow  M\subset  [(ABM)\cap (SCD)]      (1)$
$N\in (ABM)$
$N\in SD\Rightarrow  N\in (SCD)$
$\Rightarrow  N\subset  [(ABM)\cap (SCD)]       (2)$
Gọi $E$ là giao điểm của $AB,CD$
$E\in AB\Rightarrow  E\in (ABM)$
$E\in CD\Rightarrow  E\in (SCD)$
$\Rightarrow  E\subset  [(ABM)\cap (SCD)]        (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $M,N,E$ là ba điểm chung của hai mặt phẳng $(ABM),(SCD)$ nên ba điểm này thẳng hàng hay $MN$ đi qua $E.$Vì $AB,CD$ cố định nên $E$ cố định.Vậy khi $M$ thay đổi thì $MN$ luôn đi qua điểm cố định $E$
$b.$ Dễ thấy $BM=(ABM)\cap (SCD)\Rightarrow  BM\subset  (SBD)$
$I\in (BM)\Rightarrow  I\in (SBD)           (4)$
$AN=(ABM)\cap (SAC)\Rightarrow  AN\subset  (SAC)$
$I\in AN\Rightarrow  I\in (SAC)              (5)$
$I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAC),(SBD)$
VẬy $I$ phải nằm trên giao tuyến $SO$