Đề bài: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$2$. Tìm trên đường thẳng $y = 4$ tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thị $(C)$ hai tiếp tuyến lập với nhau $1$ góc \({45^0}\).
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải:
$2$. Đường thẳng $y = 4$ tiếp xúc với $(C)$
tại điểm $(2, 4)$. Các điểm cần tìm là các giao điểm của tiếp tuyến của
$(C)$ với hệ số góc $1$ hoặc $– 1$ và đường $y = 4$. \(y’\left( x
\right) = 1 \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}
= 1\left( {vn} \right) \Rightarrow \left( C \right)\)không có tiếp
tuyến với hệ số góc bằng $1$
\(y’\left( x \right) = – 1
\Leftrightarrow 1 – \frac{1}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = – 1
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }};{y_1} = 2 + \frac{3}{{\sqrt 2 }}\\
{x_2} = 1 – \frac{1}{{\sqrt 2 }};{y_2} = 2 – \frac{3}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)
Có $2$ tiếp tuyến của $(C)$ với hệ số góc bằng $– 1$ là: \(y = – x + 3 + 2\sqrt 2\) và \(y = – x + 3 – 2\sqrt 2\)
Các điểm cần tìm có hoành độ thỏa mãn: \( – x + 3 + 3\sqrt 2 = 4 \Rightarrow x = – 1 + 2\sqrt 2\)
\( – x + 3 – 3\sqrt 2 = 4 \Rightarrow x = – 1 – 2\sqrt 2\)
Đáp số: Có $2$ điểm thỏa mãn là \(A\left( { – 1 + 2\sqrt 2 ,4} \right);B\left( { – 1, – 2\sqrt 2 ,4} \right)\)
Trả lời