Đề bài: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}}\left( H \right)\)$2$. Tìm những điểm $M$ trên $y = 1$ sao cho từ $M$ có thể kẻ được đúng $1$ tiếp tuyến đến $(H)$
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải:
$2$. Xét \(M\left( {{x_0},1} \right)\) thuộc đường thẳng $y = 1$. Đường thẳng qua $M$, hệ số góc $k$ có phương trình \(y = k\left( {x – {x_0}} \right) + 1\). Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến qua $M$ khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: \(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
2x – 1 + \frac{1}{{x + 1}} = k\left( {x – {x_0}} \right) + 1 \left( 1 \right)\\
2 – \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
Ta có $(2)$ \( \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) – \frac{1}{{x + 1}} = k\left( {x + 1} \right)\left( {2′} \right)\)
Lấy $(1) – (2’)$ \( \Rightarrow – 3 + \frac{2}{{x + 1}} = – k{x_0} – k + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{4 – \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2}\)
\(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{4 – \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2} \left( 3 \right)\\
2 – \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)
$(H)$ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có nghiệm thỏa mãn $(2)$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 – \left( {{x_0} + 1} \right)k \ne 0\\
2 – {\left( {\frac{{4 – \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2}} \right)^2} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 2\\
{\left[ {\left( {{x_0} + 1} \right)k – 4} \right]^2} + 4k – 8 = 0
\end{array} \right.\)
Số tiếp tuyến kẻ được qua \(M\left( {{x_0},1} \right)\) đúng bằng số nghiệm khác $2$ của tam thức. \(\varphi \left( k \right) = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{k^2} + \left[ {4 – 8\left( {{x_0} + 1} \right)} \right]k + 8\)
Vậy qua $M$ chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến khi và chỉ khi xảy ra $1$ trong $3$ trường hợp
– Hoặc\({x_0} = – 1;k = – 2\)
– Hoặc\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} \ne – 1\\
\Delta ‘ = 4{\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} – 8{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{.2^2} – 4\left( {2{x_0} + 1} \right).2 + 8 \ne 0
\end{array} \right.\)
– Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} \ne – 1\\
\Delta ‘ > 0\\
{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{.2^2} – 4\left( {2{x_0} + 1} \right).2 + 8 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 1\)
Vậy trên đường thẳng $y = 1$ có $4$ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán đó là các điểm có hoành độ \(x = \pm 1,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Trả lời