Đề bài: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ – {x^2} + x + 1}}{{x – 1}}\left( C \right)\)$2$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $ A, B$. xác định giá trị của m để độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.
Lời giải
$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Xét phương trình \(y = \frac{{ – {x^2} + x + 1}}{{x – 1}} = m \left( 1 \right) \Leftrightarrow – {x^2} + x + 1 = m\left( {x – 1} \right)\)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} – x – 1 + m\left( {x – 1} \right) = 0\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = – 1,\forall m \)
\(\Rightarrow f\left( x \right) = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} \(\Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Suy ra đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.
Vì \(A\left( {{x_1},m} \right);B\left( {{x_2},m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\)là hai nghiệm của $f(x)$ nên \(AB = \left| {{x_2} – {x_1}} \right| \)
\(\Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = {\left( {m – 1} \right)^2} – 4\left( { – 1 – m} \right)\)
\( = {m^2} + 2m + 5\)\( = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 \ge 4\).
Vậy $\min AB = 2$ đạt được \( \Leftrightarrow m = – 1\)
Trả lời